Problemi con la Similitudine
1) Un triangolo rettangolo ha un cateto di 18 cm e l'area di 216 cm2. Calcola la misura di un triangolo simile a quello dato avente il perimetro di 82,2 cm.
2) Un triangolo isoscele ha la base di 27 cm e ciascuno dei due lati congruenti di 30 m. Calcola: la misura della base di un triangolo simile che ha ciascuno dei due lati congruenti di 45 cm.
3) Due triangoli sono simili e uno di essi ha i lati che misurano rispettivamente 5,6 e 8 cm. Calcola: la misura dei lati dell'altro triangolo sapendo che K è uguale a 1/4. (K=4)
4) Il rapporto tra due triangoli è di 5/3. E i lati del primo misurano rispettivamente 15,21 e 24 cm. Calcola la misura dei lati del secondo triangolo.
5) In un triangolo la differenza fra la base e l'altezza misura 33,6 cm. E il loro rapporto è 5/3. Calcola l'area di un triangolo simile a quello dato sapendo che il rapporto di similitudine fra il primo e il secondo è 3/2.
2) Un triangolo isoscele ha la base di 27 cm e ciascuno dei due lati congruenti di 30 m. Calcola: la misura della base di un triangolo simile che ha ciascuno dei due lati congruenti di 45 cm.
3) Due triangoli sono simili e uno di essi ha i lati che misurano rispettivamente 5,6 e 8 cm. Calcola: la misura dei lati dell'altro triangolo sapendo che K è uguale a 1/4. (K=4)
4) Il rapporto tra due triangoli è di 5/3. E i lati del primo misurano rispettivamente 15,21 e 24 cm. Calcola la misura dei lati del secondo triangolo.
5) In un triangolo la differenza fra la base e l'altezza misura 33,6 cm. E il loro rapporto è 5/3. Calcola l'area di un triangolo simile a quello dato sapendo che il rapporto di similitudine fra il primo e il secondo è 3/2.
Risposte
Ti do qualche suggerimento.
Il primo: hai Area e un cateto:
quindi, sapendo che in un triangolo rettangolo i cateti sono base e altezza corddispondenti, l'Area e':
e dunque
Una volta trovato l'altro cateto, con Pitagora ricavi l'ipotenusa.
A questo punto calcoli il perimetro.
Una volta definito il rapporto tra il perimetro del triangolo e quello noto, ricavi, attraverso le proporzioni, tutti i lati del triangolo simile.
Trattandosi di proporzione tra perimetri (e quindi tra misure lineari) il rapporto tra i perimetri e i lati rimane costante.
Attenzione perche' se invece hai un rapporto tra aree, trattandosi di misure di superficie, il rapporto tra i lati sara' uguale alla radice quadrata del rapporto tra le aree.
Ad esempio, se hai un triangolo con Area quadrupla rispetto ad un altro triangolo, i lati staranno tra loro in proporzione 1:2 (perche' 2 e' la radice di 4)
Per il primo e' chiaro?
Il primo: hai Area e un cateto:
quindi, sapendo che in un triangolo rettangolo i cateti sono base e altezza corddispondenti, l'Area e':
[math] A= \frac{c_1 \cdot c_2}{2} [/math]
e dunque
[math] c_2= \frac{2 \cdot A}{c_1}[/math]
Una volta trovato l'altro cateto, con Pitagora ricavi l'ipotenusa.
A questo punto calcoli il perimetro.
Una volta definito il rapporto tra il perimetro del triangolo e quello noto, ricavi, attraverso le proporzioni, tutti i lati del triangolo simile.
Trattandosi di proporzione tra perimetri (e quindi tra misure lineari) il rapporto tra i perimetri e i lati rimane costante.
Attenzione perche' se invece hai un rapporto tra aree, trattandosi di misure di superficie, il rapporto tra i lati sara' uguale alla radice quadrata del rapporto tra le aree.
Ad esempio, se hai un triangolo con Area quadrupla rispetto ad un altro triangolo, i lati staranno tra loro in proporzione 1:2 (perche' 2 e' la radice di 4)
Per il primo e' chiaro?
5) In un triangolo la differenza fra la base e l'altezza misura 33,6 cm. E il loro rapporto è 5/3. Calcola l'area di un triangolo simile a quello dato sapendo che il rapporto di similitudine fra il primo e il secondo è 3/2.
Sono problemi sulla similitudine ovvero le misure lineari della figura 1 stanno in un rapporto K con le rispettive misure linerari della figura 2 . Esempio se il trinagolo1 uno ha un lato che misura 5 e il triangolo 2 ha il medesimo lato che misura 15 il rapporto K sarà 15/3 = 3 ( se dal piccolo al grande ) oppure K1 = 1/3 se lo usi nella direzione dal più grande al più piccolo. Questo rapporto vale anche per gli altri lati e anche per i perimetri. Invece per l'area; l'area del triangolo maggiore varrà 3*3 = 9 volte l'area del minore nel nostro esempio e in generale k*k . Gli angoli invece si conservano esempio una misura di 30 ° vale sia per la figura minore che per la figura maggiore.
Con questi concetti chiariti risultano agevoli i problemi 2 3 e 4 . Sul problema 1 hai già delle indicazioni. Il problema 5 richiede le seguenti considerazioni. Indichiamo con b la base e con h l'altezza . Il testo del problema ci dice che b - h = 33,6 mentre b/h = 5/3 quindi b = 33,6 + h che sostituito nella seconda relazione diventa (33,6 + h )/h = 5/3
ovvero h*5/3 = 33,6 + h quindi h*5/3 - h = 33,6 h*(5/3-1) = 33,6 h*(5/3-3/3) = 33,6 h*2/3 =33,6 infine h = 3*33,6/2 ovvero h = 50,4 cm e quindi b = 50,4 + 33,6 = 84 cm . ( Ho dettagliato tutti i passaggi ) . Il concetto che sta alla base di questi passaggi algebrici è un sistema di due equazioni di primo grado e due incognite.
A questo punto basta moltiplicare per il rapporto 3/2 per avere le miusre di base e altezza del triangolo simile e poi calcolare la relativa area .
Sono problemi sulla similitudine ovvero le misure lineari della figura 1 stanno in un rapporto K con le rispettive misure linerari della figura 2 . Esempio se il trinagolo1 uno ha un lato che misura 5 e il triangolo 2 ha il medesimo lato che misura 15 il rapporto K sarà 15/3 = 3 ( se dal piccolo al grande ) oppure K1 = 1/3 se lo usi nella direzione dal più grande al più piccolo. Questo rapporto vale anche per gli altri lati e anche per i perimetri. Invece per l'area; l'area del triangolo maggiore varrà 3*3 = 9 volte l'area del minore nel nostro esempio e in generale k*k . Gli angoli invece si conservano esempio una misura di 30 ° vale sia per la figura minore che per la figura maggiore.
Con questi concetti chiariti risultano agevoli i problemi 2 3 e 4 . Sul problema 1 hai già delle indicazioni. Il problema 5 richiede le seguenti considerazioni. Indichiamo con b la base e con h l'altezza . Il testo del problema ci dice che b - h = 33,6 mentre b/h = 5/3 quindi b = 33,6 + h che sostituito nella seconda relazione diventa (33,6 + h )/h = 5/3
ovvero h*5/3 = 33,6 + h quindi h*5/3 - h = 33,6 h*(5/3-1) = 33,6 h*(5/3-3/3) = 33,6 h*2/3 =33,6 infine h = 3*33,6/2 ovvero h = 50,4 cm e quindi b = 50,4 + 33,6 = 84 cm . ( Ho dettagliato tutti i passaggi ) . Il concetto che sta alla base di questi passaggi algebrici è un sistema di due equazioni di primo grado e due incognite.
A questo punto basta moltiplicare per il rapporto 3/2 per avere le miusre di base e altezza del triangolo simile e poi calcolare la relativa area .
in un triangolo rettangolo la differenza delle lunghezze dei due cateti misura 21 cm e il minore e' i 5/12 del maggiore.Calcola il perimetro e l'area di un triangolo simile il cui cateto minore e' lungo 35 cm.
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