Problemi con i limiti...vorrei capire un pò meglio...

[Stefystef]

1) La corda AB dista r rad2/2 dal centro O di un cerchio di raggio r. Nel segmento di cerchio da esso formato,non comprendente il centro,inscrivere il triangolo ABC e calcolare il limite del rapporto 2BC + AC / rad2 AB per AC tendente alla tangente in A al cerchio.

2) Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per il punto A(o;4) ed avente vertice nel punto V(2;0). Calcolare il limite per k tendente a 0 del rapporto RA/RT, essendo R un punto appartenente all'asse di simmetria ed avente ordinata k ed essendo T la proiezione ortogonale di R sulla tangente alla parabola parallela alla bisettrice del 1 e 3 quadrante.

GRAZIE A TUTTI!

[BIT5]

Dovresti dirmi una cosa, pero'.
Quando li risolvete, trovate prima i casi limiti, imposta la variabile x ed una relazione generica?
Perche' se cosi' fosse i metodi che ti posto sono incompleti..
Comunque non credo che li facciate completi con l'incognita, dal momento che macherebbero dei dati (soprattutto nel primo esercizio)

1) Per svolgere il problema devi valutare la relazione su cui calcolerai il limite.

Allora: nella relazione compaiono i segmenti AB, AC e BC.

Dal momento che il punto C e' mobile, AC e BC varieranno a seconda del posizionamento del punto C sull'arco di circonferenza.

AB, invece, che e' la corda, e' fissa.

Calcoliamo quindi AB.
Sai che la distanza della corda dal centro della circonferenza e'

[math] r \frac{ \sqrt2}{2} [/math]

Inoltre conosci le lunghezze dei segmenti AO e BO, che sono i raggi della circonferenza. (r)

Quindi consideri il triangolo ABO, isoscele (i lati AO e BO sono congruenti) e di cui conosci l'altezza (ovvero la distanza da O)

Quindi sai che, detto H il piede dell'altezza OH rispetto alla base AB del tirangolo AOB, per Pitagora

[math] \bar{AH}=r \frac{ \sqrt2}{2} [/math]

e quindi

[math] AB=r \sqrt2 [/math]

(perche' sara' il doppio di AH, visto che il triangolo AOB e' isoscele)

Nel caso in cui AC tende alla tangente in A, i segmenti che mancano saranno:

AC=0, CB=AB.

E la relazione, dunque

[math] \frac{2 (r \sqrt2) + 0}{\sqrt2 r \sqrt2} = \sqrt2 [/math]

2) Per il secondo, una volta ricavata l'equazione della parabola, sai che k e' l'ordinata del punto R (che dal momento che giace sull'asse di simmetria avra' la stessa ascissa dell'asse, che poi e' l'ascissa del vertice e quindi il punto R avra' coordinate (2,k))

Ricavi poi l'equazione della retta tangente (che essendo parallela alla bisettrice del I e III quadrante avra' pendenza=1.

a quel punto, per k==>0 il punto R avra' coordinate (2,0) e quindi coincidera' con il vertice.

RA sara' la distanza del punto R da A.
TR sara' la distanza dal punto di tangenza a R.

[Stefystef]

Cmq sì...di solito impostiamo un'incognita x

[ciampax]

!) Quello che dice BIT è corretto fino al calcolo dei segmenti. Ora manca determinare una relazione per i segmenti

[math]AC,\ BC[/math]

in relazione alla posizione di

[math]C[/math]

sull'arco

[math]AB[/math]

. Chiamiamo

[math]x=C\hat{A}B[/math]

l'angolo che il segmento

[math]AC[/math]

forma con il segmento

[math]AB[/math]

. Quando

[math]C=B[/math]

,

[math]x=0[/math]

, mentre quando

[math]C\rightarrow A[/math]

(in tal caso avrai la tangente) dovrai avere che la somma dell'angolo

[math]x[/math]

con l'angolo formato dal raggio

[math]AO[/math]

e il segmento

[math]AB[/math]

deve essere di

[math]\pi/2[/math]

. Visto che

[math]O\hat{A}B=\frac{\pi}{4}[/math]

dal momento che il triangolo

[math]AHO[/math]

risulta rettangolo isoscele (e quindi la metà di un quadrato) segue che

[math]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}[/math]

e quindi se

[math]C\rightarrow A[/math]

allora

[math]x\rightarrow\frac{\pi}{4}[/math]

. Ora, puoi osservare che i triangoli

[math]AOC,\ COB[/math]

sono entrambi isosceli con basi rispettive i lati

[math]AC,\ BC[/math]

. Per determinarli, devi calcolare gli angoli nel vertice

[math]O[/math]

di essi ed usare il teorema dei coseni. Per primo, calcoliamo l'angolo in O del triangolo AOC: essendo l'angolo alla base pari a

[math]x+\pi/4[/math]

ne segue che

[math]A\hat{O}C=\pi-2(\pi/4+x)=\pi/2-2x[/math]

.

Per l'altro angolo, basta osservare che

[math]A\hat{O}B=\pi/2[/math]

, e quindi che

[math]C\hat{O}B=\pi/2-A\hat{O}C=2x[/math]

.

Quindi, dal teorema dei coseni

[math]AC^2=r^2+r^2-2r^2\cos(\pi/2-2x)=2r^2(1-\sin 2x)=\\2r^2(\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x)=2r^2(\sin x-\cos x)^2[/math]

[math]BC^2=r^2+r^2-2r^2\cos 2x=2r^2(1-\cos 2x)=2r^2\cdot 2\sin^2 x[/math]

per cui la funzione da studiare è

[math]f(x)=\frac{2\sqrt{2} r|\sin x-\cos x|+2r|\sin x|}{2r}=\sqrt{2}|\sin x-\cos x|+|\sin x|[/math]

Infine

[math]\lim_{x\rightarrow\pi/4} f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]