Problemi con equazioni secondo grado
Ciao a tutti, qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a risolvere questi 2 problemi possibilmente con una spiegazione dato che non riesco proprio a impostarli??
1) Un quadrato ha perimetro 24 cm. Un rettangolo ha lo stesso perimetro, mentre l'area è pari ai 3/4 di quella del quadrato. Determina le dimensioni del rettangolo [ris. 3cm; 9cm]
2)Il proprietario di un terreno deve cederne una parte uguale a 416 m^2 per la costruzione di una strada. Calcola la larghezza x della strada sapendo che il terreno rimasto ha i lati lunghi 30m e 70m [ris. x=4 m]
1) Un quadrato ha perimetro 24 cm. Un rettangolo ha lo stesso perimetro, mentre l'area è pari ai 3/4 di quella del quadrato. Determina le dimensioni del rettangolo [ris. 3cm; 9cm]
2)Il proprietario di un terreno deve cederne una parte uguale a 416 m^2 per la costruzione di una strada. Calcola la larghezza x della strada sapendo che il terreno rimasto ha i lati lunghi 30m e 70m [ris. x=4 m]
Risposte
1) devi trovare l'area del quadrato per poi trovare quella del rettangolo, quindi ti trovi il lato (24:4=6 cm) e cosi l'area del quadrato A=l^2=6^2= 36 cm
ti trovi area del rettangolo con una proporzione: 3 : 4 = x : 36 x= (36x3)/4= 27 cm^2. L'area del rettangolo è base per altezza e sai che il perimetro è uguale a qll del quadrato (e poi non so piu come spiegartelo xD)............
ti trovi area del rettangolo con una proporzione: 3 : 4 = x : 36 x= (36x3)/4= 27 cm^2. L'area del rettangolo è base per altezza e sai che il perimetro è uguale a qll del quadrato (e poi non so piu come spiegartelo xD)............
1)
Chiamiamo x il lato del quadrato e y e z i lati del rettangolo.
Sappiamo che il perimetro del quadrato è:
p quadrato = 4x = 24 cm
da cui
x = 24/4 = 6 cm
L'area del quadrato sarà allora pari a:
A quadrato = x^2 = 6^2 = 36 cm^2
Dal problema sappiamo anche che:
1) p rettangolo = p quadrato = 2(y+z) = 24 cm e cioè y+z = 12 cm
2) A rettangolo = y*z = (3/4)*A quadrato = (3/4)*36 = 27 cm^2
Dalla 2) ricaviamo y in funzione di z e sostituiamolo nella 1)
2) y*z = 27 da cui y = 27/z
1) y+z = 12 e cioè
27/y + y = 12, moltiplichiamo tutto per y per far sparire il denominatore
27 + y^2 = 12y questa è un'equazione di II grado, scriviamola in forma canonica
y^2 -12y +27 = 0
Troviamone le radici:
Quindi y può assumere i valori 3 e 9 cm e di conseguenza z, per l'espressione 1), assumerà i valori opposti:
1) y + z = 12
z = 12 - y se y è 3 cm allora z è 9cm e viceversa se y è 9cm.
Adesso penso al secondo
Aggiunto 32 minuti più tardi:
2)
Per inquadrare il problema fai riferimento alla figura allegata.
L'area del terreno riservato alla strada sarà pari a:
Area strada = 30x + 70x + x^2 = 416
Anche questa è un'equazione di II grado che mettiamo in forma canonica:
x^2 +100x -416 = 0
troviamone le soluzioni:
Dal momento che stiamo parlando di misure di segmenti, il risultato negativo è da scartare, per cui la nostra strada avrà una larghezza pari a 4 m.
Chiamiamo x il lato del quadrato e y e z i lati del rettangolo.
Sappiamo che il perimetro del quadrato è:
p quadrato = 4x = 24 cm
da cui
x = 24/4 = 6 cm
L'area del quadrato sarà allora pari a:
A quadrato = x^2 = 6^2 = 36 cm^2
Dal problema sappiamo anche che:
1) p rettangolo = p quadrato = 2(y+z) = 24 cm e cioè y+z = 12 cm
2) A rettangolo = y*z = (3/4)*A quadrato = (3/4)*36 = 27 cm^2
Dalla 2) ricaviamo y in funzione di z e sostituiamolo nella 1)
2) y*z = 27 da cui y = 27/z
1) y+z = 12 e cioè
27/y + y = 12, moltiplichiamo tutto per y per far sparire il denominatore
27 + y^2 = 12y questa è un'equazione di II grado, scriviamola in forma canonica
y^2 -12y +27 = 0
Troviamone le radici:
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-B \; \pm \; \sqrt {B^2 \;-\; 4AC}}{2A} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-(-12) \; \pm \; \sqrt {(-12)^2 \;-\; 4\;.\;27}}{2} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {12 \; \pm \; \sqrt {144 \;-\; 108}}{2} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {12 \; \pm \; \sqrt {36}}{2} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {12 \; \pm \; 6}{2} [/math]
[math] y_1 \;=\; \frac {12 \; + \; 6}{2} \;=\; 9 \;cm [/math]
[math] y_2 \;=\; \frac {12 \; - \; 6}{2} \;=\; 3 \;cm [/math]
Quindi y può assumere i valori 3 e 9 cm e di conseguenza z, per l'espressione 1), assumerà i valori opposti:
1) y + z = 12
z = 12 - y se y è 3 cm allora z è 9cm e viceversa se y è 9cm.
Adesso penso al secondo
Aggiunto 32 minuti più tardi:
2)
Per inquadrare il problema fai riferimento alla figura allegata.
L'area del terreno riservato alla strada sarà pari a:
Area strada = 30x + 70x + x^2 = 416
Anche questa è un'equazione di II grado che mettiamo in forma canonica:
x^2 +100x -416 = 0
troviamone le soluzioni:
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-B \; \pm \; sqrt {B^2 \;-\; 4AC}}{2A} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; sqrt {100^2 \;-\; 4\;.\;(-416)}}{2} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; sqrt {10000 \;+\; 1664}}{2} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; sqrt {11664}}{2} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; 108}{2} [/math]
[math] x_1 \;=\; \frac {-100 \; + \; 108}{2} \;=\; 4 \;m [/math]
[math] x_2 \;=\; \frac {-100 \; - \; 108}{2} \;=\; -104 \;m [/math]
Dal momento che stiamo parlando di misure di segmenti, il risultato negativo è da scartare, per cui la nostra strada avrà una larghezza pari a 4 m.
# Max 2433/BO :
1)
Chiamiamo x il lato del quadrato e y e z i lati del rettangolo.
Sappiamo che il perimetro del quadrato è:
p quadrato = 4x = 24 cm
da cui
x = 24/4 = 6 cm
L'area del quadrato sarà allora pari a:
A quadrato = x^2 = 6^2 = 36 cm^2
Dal problema sappiamo anche che:
1) p rettangolo = p quadrato = 2(y+z) = 24 cm e cioè y+z = 12 cm
2) A rettangolo = y*z = (3/4)*A quadrato = (3/4)*36 = 27 cm^2
Dalla 2) ricaviamo y in funzione di z e sostituiamolo nella 1)
2) y*z = 27 da cui y = 27/z
1) y+z = 12 e cioè
27/y + y = 12, moltiplichiamo tutto per y per far sparire il denominatore
27 + y^2 = 12y questa è un'equazione di II grado, scriviamola in forma canonica
y^2 -12y +27 = 0
Troviamone le radici:
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-B \; \pm \; \sqrt {B^2 \;-\; 4AC}}{2A} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-(-12) \; \pm \; \sqrt {(-12)^2 \;-\; 4\;.\;27}}{2} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {12 \; \pm \; \sqrt {144 \;-\; 108}}{2} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {12 \; \pm \; \sqrt {36}}{2} [/math]
[math] y_{1,2} \;=\; \frac {12 \; \pm \; 6}{2} [/math]
[math] y_1 \;=\; \frac {12 \; + \; 6}{2} \;=\; 9 \;cm [/math]
[math] y_2 \;=\; \frac {12 \; - \; 6}{2} \;=\; 3 \;cm [/math]
Quindi y può assumere i valori 3 e 9 cm e di conseguenza z, per l'espressione 1), assumerà i valori opposti:
1) y + z = 12
z = 12 - y se y è 3 cm allora z è 9cm e viceversa se y è 9cm.
Adesso penso al secondo
Aggiunto 32 minuti più tardi:
2)
Per inquadrare il problema fai riferimento alla figura allegata.
L'area del terreno riservato alla strada sarà pari a:
Area strada = 30x + 70x + x^2 = 416
Anche questa è un'equazione di II grado che mettiamo in forma canonica:
x^2 +100x -416 = 0
troviamone le soluzioni:
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-B \; \pm \; sqrt {B^2 \;-\; 4AC}}{2A} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; sqrt {100^2 \;-\; 4\;.\;(-416)}}{2} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; sqrt {10000 \;+\; 1664}}{2} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; sqrt {11664}}{2} [/math]
[math] x_{1,2} \;=\; \frac {-100 \; \pm \; 108}{2} [/math]
[math] x_1 \;=\; \frac {-100 \; + \; 108}{2} \;=\; 4 \;m [/math]
[math] x_2 \;=\; \frac {-100 \; - \; 108}{2} \;=\; -104 \;m [/math]
Dal momento che stiamo parlando di misure di segmenti, il risultato negativo è da scartare, per cui la nostra strada avrà una larghezza pari a 4 m.
ecco vedi..... il problema è che io dovrei usare solo x... non y e z
Allora, per il problema n° 2 non ci sono problemi, qui compare solo la x...
... per il problema n°1 è più un problema perchè, comunque lo si guardi, le variabili presenti sono tre: il lato del quadrato (che mi serve per ricavare l'area), e i due lati del rettangolo...
... o al massimo solo due: i lati del rettangolo...
... adesso penso se è possibile risolvere il tutto con una sola variabile.
... per il problema n°1 è più un problema perchè, comunque lo si guardi, le variabili presenti sono tre: il lato del quadrato (che mi serve per ricavare l'area), e i due lati del rettangolo...
... o al massimo solo due: i lati del rettangolo...
... adesso penso se è possibile risolvere il tutto con una sola variabile.
# Max 2433/BO :
Allora, per il problema n° 2 non ci sono problemi, qui compare solo la x...
... per il problema n°1 è più un problema perchè, comunque lo si guardi, le variabili presenti sono tre: il lato del quadrato (che mi serve per ricavare l'area), e i due lati del rettangolo...
... o al massimo solo due: i lati del rettangolo...
... adesso penso se è possibile risolvere il tutto con una sola variabile.
perfetto... se ci riesci ti ringrazio infintamente (ti ringrazio comunque per il problema 2).... ma si potrà?? con tutti i problemi che abbiamo fatto a scuola io non sono ancora capace a impostarli.... proprio non riesco e non so più come fare...
P.S ah... una cosa, nel problema due perchè il 30 e il 70 li hai chiamati 30x e 70x?? non si poteva togliere la x e scrivere solo 30 e 70?? perchè??
Abbi fede... :lol
... ci sto provando!
... ci sto provando!
# Max 2433/BO :
Abbi fede... :lol
... ci sto provando!
sisi... mille grazie...
P.S ah... una cosa, nel problema due perchè il 30 e il 70 li hai chiamati 30x e 70x?? non si poteva togliere la x e scrivere solo 30 e 70?? perchè??
30x e 70x perchè rappresentano le aree dei rettangoli sopra e a destra del nostro campo di 70*30...
... quindi uno è 30*x o 30x e l'altro è 70*x o 70x...
... al quale aggiungo poi l'area del quadrato in alto a sinistra che vale x*x e cioè x^2...
Aggiunto 48 secondi più tardi:
Dunque un procedimento per risolvere il problema n°1 falsamente come se ci fosse un'unica incognita è il seguente:
Il perimetro del quadrato (che è uguale a quello del rettangolo) è pari a:
mentre l'area, sempre di un quadrato è pari a:
ricavando l dalla prima e sostituendola nella seconda otteniamo:
Chiamiamo ora x un lato del rettangolo e h la sua altezza (... ecco la falsità del procedimento: anche h è un'incognita ;) ) e allora possiamo scrivere:
1)
oppure
2)
Adesso dalla 2) ricaviamo h in funzione di x e la sostituiamo nella 1):
2)
1)
... la stessa equazione che ti avevo già proposto ma con x al posto di y, quindi non ti ripeterò i passaggi perchè a questo punto sono identici dovrai solo considerare x al posto di y e h al posto di z.
Spero che così ti possa andare bene, altrimenti fammi sapere.
:hi
Massimiliano
... quindi uno è 30*x o 30x e l'altro è 70*x o 70x...
... al quale aggiungo poi l'area del quadrato in alto a sinistra che vale x*x e cioè x^2...
Aggiunto 48 secondi più tardi:
Dunque un procedimento per risolvere il problema n°1 falsamente come se ci fosse un'unica incognita è il seguente:
Il perimetro del quadrato (che è uguale a quello del rettangolo) è pari a:
[math] P_{quadrato} \;=\; 4\;.\;l [/math]
mentre l'area, sempre di un quadrato è pari a:
[math] A_{quadrato} \;=\; l^2 [/math]
ricavando l dalla prima e sostituendola nella seconda otteniamo:
[math] A_{quadrato} \;=\; \left( \frac {P_{quadrato}}{4} \right)^2 \;=\; \left( \frac{24}{4} \right)^2 \;=\; 36 \;cm^2[/math]
Chiamiamo ora x un lato del rettangolo e h la sua altezza (... ecco la falsità del procedimento: anche h è un'incognita ;) ) e allora possiamo scrivere:
1)
[math] P_{rettangolo} \;=\; P_{quadrato} \;=\; 2\;.\;(x\;+\;h) \;=\; 24 \;cm [/math]
oppure
[math] P_{rettangolo} \;=\; x\;+\;h \;=\; 12 \;cm [/math]
2)
[math] A_{rettangolo} \;=\; x\;.\;h \;=\; \frac {3}{4}\;.\; A_{quadrato} \;=\; \frac {3}{4} \;.\; 36 \;=\; 27 \;cm^2 [/math]
Adesso dalla 2) ricaviamo h in funzione di x e la sostituiamo nella 1):
2)
[math] h \;=\; \frac {27}{x} [/math]
1)
[math] x \;+\; \frac {27}{x} \;=\; 12 [/math]
moltiplichiamo tutto per x per far sparire il denominatore[math] x^2 \;+\; 27 \;=\; 12x [/math]
e cioè[math] x^2 \;-\; 12x \;+\; 27 \;=\; 0 [/math]
... la stessa equazione che ti avevo già proposto ma con x al posto di y, quindi non ti ripeterò i passaggi perchè a questo punto sono identici dovrai solo considerare x al posto di y e h al posto di z.
Spero che così ti possa andare bene, altrimenti fammi sapere.
:hi
Massimiliano
# Max 2433/BO :
30x e 70x perchè rappresentano le aree dei rettangoli sopra e a destra del nostro campo di 70*30...
... quindi uno è 30*x o 30x e l'altro è 70*x o 70x...
... al quale aggiungo poi l'area del quadrato in alto a sinistra che vale x*x e cioè x^2...
Aggiunto 48 secondi più tardi:
Dunque un procedimento per risolvere il problema n°1 falsamente come se ci fosse un'unica incognita è il seguente:
Il perimetro del quadrato (che è uguale a quello del rettangolo) è pari a:
[math] P_{quadrato} \;=\; 4\;.\;l [/math]
mentre l'area, sempre di un quadrato è pari a:
[math] A_{quadrato} \;=\; l^2 [/math]
ricavando l dalla prima e sostituendola nella seconda otteniamo:
[math] A_{quadrato} \;=\; \left( \frac {P_{quadrato}}{4} \right)^2 \;=\; \left( \frac{24}{4} \right)^2 \;=\; 36 \;cm^2[/math]
Chiamiamo ora x un lato del rettangolo e h la sua altezza (... ecco la falsità del procedimento: anche h è un'incognita ;) ) e allora possiamo scrivere:
1)[math] P_{rettangolo} \;=\; P_{quadrato} \;=\; 2\;.\;(x\;+\;h) \;=\; 24 \;cm [/math]
oppure[math] P_{rettangolo} \;=\; x\;+\;h \;=\; 12 \;cm [/math]
2)[math] A_{rettangolo} \;=\; x\;.\;h \;=\; \frac {3}{4}\;.\; A_{quadrato} \;=\; \frac {3}{4} \;.\; 36 \;=\; 27 \;cm^2 [/math]
Adesso dalla 2) ricaviamo h in funzione di x e la sostituiamo nella 1):
2)[math] h \;=\; \frac {27}{x} [/math]
1)[math] x \;+\; \frac {27}{x} \;=\; 12 [/math]moltiplichiamo tutto per x per far sparire il denominatore
[math] x^2 \;+\; 27 \;=\; 12x [/math]e cioè
[math] x^2 \;-\; 12x \;+\; 27 \;=\; 0 [/math]
... la stessa equazione che ti avevo già proposto ma con x al posto di y, quindi non ti ripeterò i passaggi perchè a questo punto sono identici dovrai solo considerare x al posto di y e h al posto di z.
Spero che così ti possa andare bene, altrimenti fammi sapere.
:hi
Massimiliano
waw... che velocità... grazie 1000, così è perfetto. ora non mi rimane altro che imparere ad impostarne altri simili da solo (anche se credo di non riuscirci visto che in 1 anno a scuola non ci sono ancora riuscito Xo)........ grazie mille ancora
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