Problemi con equazioni e diseq

[Cescoooo]

Che me potreste fa qualcuno de sti problemi per favoreee?

1) In un settore circolare AOB di raggio r e di ampiezza uguale a 90° traccia un raggio OP. Considera la proiezione ortogonale D di P sul raggio OB e il punto medio C del raggio OA. Determina l' angolo OAP sapendo che è valida la relazione: PC (alla seconda) + PD (alla seconda)= 11/10 r( alla seconda).

2)Determina gli angoli di un trapezio isoscele, sapendo che la base maggiore è AB=14, quella minore è CD=8 e il rapporto fra il quadrato della diagonale e il quadrato del lato obliquo è 37/9

3) Nel triangolo ABC il lato ac ha misura l, il lato BC ha misura 2l. Determina gli angoli del triangolo sapendo che fra i due lati noti e l angolo A intercorre questa relazione:
BC sen2A - AC tg2A = 0

Grazieeeee

[bimbozza]

In questo genere di problemi, la cosa più difficile è ricavare gli elementi necessari per impostare la relazione...quindi, questa parte la farò io, a te lascio i calcoli finali (ma se avessi problemi anche con quelli, basta chiedere....)

1) detto x l'angolo OAP, dal teorema di Carnot abbiamo

[math]AP= \sqrt{PO^2+AO^2-2A0*PO cosx}=\sqrt{2r^2-2r^2cosx}[/math]

[math]PC= \sqrt{AC^2+AP^2-2AC*AP cosx}=[/math]

[math]\sqrt{2r^2-2r^2cosx+ \frac{r^2}{4}-r^2 \sqrt{2(1-cosx)}cosx}}[/math]

per le proprietà dei triangoli

[math]PD=r-APcosx=r-cos x \sqrt{2r^2-2r^2cosx}[/math]

adesso hai tutto ciò che ti serve per impostare la relazione (e questo penso tu possa farlo da te, ma se hai bisogno di aiuto, basta chiedere)

2)tracciamo l'altezza DH e chiamiamo x l'anglo HAD. AH= (14- 8 )/2=3
per le proprietà dei triangoli
AD=3/cosx
DH=3tgx
dal teorema di pitagora

[math]DB^2= 9tg^2x+121[/math]

quindi s'imposta la relazione data

[math] \frac{(9tg^2x+121)cos^2 x}{ 9}= \frac{37}{9}[/math]

anche in questo caso lascio a te i conti, ricordandoti che, dopo aver trovato x=angolo alla base, per trovarti l'altro angolo è sufficiente fare 180-x

3) qui basta impostare direttamente la formula data. Detto x l'angolo A si ha :

[math]2lsin2x-ltg2x=0 [/math]

[math]2lsinxcosx- \frac{2ltgx}{1-tg^2 x} =0[/math]

dividiamo tutto per 2l e ricordando che tgx=sinx/cosx

[math]sinxcosx- \frac{sinxcosx}{1-2sin^2x} =0[/math]

[math]\frac{sinxcosx(1-2sin^2x-1}{1-2sin^2x} =0[/math]

[math]\frac{-2sin^3xcosx}{1-2sin^2x} =0[/math]

una volta ricavato x ricorda il teoremi dei seni
sin B/l=sinx/2l quindi sinB=sinx/2
infine C lo trovi ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 , quindi C=180-A-B