Problemi con eq. di 2 grado (718719)

[Questions]

Buonasera chiedo gentilmente se qualcuno può aiutarmi con questi due problemi:
1- un parallelogramma ABCD, in cui AB>BC,è tale che BAD=60°. Sapendo che il perimetro del parallelogramma è 12 cm e l’area è 4rad3 cm^2, determina le lunghezze dei lati. Risultato [AB=4cm, BC=2cm]

2- un triangolo equilatero ABC hai il lato di 6 cm. Sia AD l’altezza relativa a BC. Considera un punto P sul lato AC. e indica con H la sua proiezione su AD. Determina la distanza di P da A in modo che la somma delle aree dei quadrati costruiti su PH che su PB sia uguale a 32 cm². Risultato [PA=0,8cm;PA=4cm]. Grazie mille.

[Studente Anonimo]

Ciao,
1)indicando con DH l'altezza del parallelogramma, abbiamo che:
A=AB×DH = 4√3
e
P=2(AB+BC) = 12
Dove DH è l'altezza, ed è uguale a DA (=BC) per il seno di 60°

L'altezza DH è uguale a:
DH=BC×sin60° (1)

Dal perimetro si ricava che:
AB+BC=12:2=6

Dall'area si ricava, sostituendo la (1):
AB×BC×sin60°=4√3

Impostiamo dunque il sistema:
{AB+BC=6
{AB×BC×sin60° = 4√3
risolvendo
{AB=6-BC
{(6-BC)×BC×√3/2 = 4√3
Dividendo per √3 e moltiplicando per 2 entrambi i membri, si ottiene:
{(6-BC)×BC = 8
{AB=6-BC
da cui
{BC² - 6BC +8 = 0
{AB=6-BC
Ora dobbiamo risolvere l'equazione di secondo grado in BC
Δ/4 = 9-8 = 1
e
BC1 = 3+1 = 4
BC2 = 3-1 = 2

Quindi, abbiamo due possibili casi:
primo caso)
AB = 2
BC = 4

secondo caso)
AB = 4
BC = 2

Siccome, AB > BC , allora la soluzione accettabile è il secondo caso, ovvero:
AB = 4 cm , BC = 2 cm

Aggiunto 1 ora 50 minuti più tardi:

2)
Conduciamo la perpendicolare PK a BC.
Otteniamo il triangolo rettangolo ADC,in cui lati misurano:
AC = 6 cm
DC = 3 cm
AD = 3√3
Inoltre,osserviamo che il triangolo rettangolo PKC è simile al precedente.
Quindi imponiamo che siano:
PC = 6x
KC = 3x
PK = 3x√3

Per triangolo rettangolo AHP,si ha:
AP = AC - PC = 6(1 - x)
PH = AP/2 = 3(1 - x)
Mentre,per il triangolo PBK:
BK = BC - KC = 6- 3x = 3(2 - x)
PB² = PK² + BK² = 27x² + 9x² + 36 - 36x = 36x² - 36x + 36

Dunque ,possiamo scrivere la relazione:
PH² + PB² = 32 cm²
sostituendo i dati, si ottiene:
9(1 - x)² + 36x² - 36x + 36 = 0
9x² - 18x + 9 + 36x² - 36x + 36 = 0
45x² - 54x + 13 = 0
che ha soluzioni
x = 1/3 V x = 13/15

Distinguiamo i due casi
per x = 1/3
AP = 6(1 - x) = 6×2/3 = 4 cm

per x = 13/15
AP = 6(1 - 13/15) = 6×2/15 = 12 cm/15 = 0,8 cm

Aggiunto 1 minuto più tardi:

spero di esseri stato di aiuto.
Saluti.