Problema trigonometrico con parametro

[oleg.fresi]

Ho questo problema già svolto: in una semicirconferenza di diametro $AB=2r$ determina un punto $P$ in modo che, detta $Q$ la sua proiezione su $AB$, risulti verificata la relazione : $AQ+QP=kQB$ con $k$ parametro reale. Il problema di per sè non è difficile, quel che non capisco è: l'angolo $PAB$ lo chiama $x$,e dice che $x$ deve essere compreso tra zero(incluso) e 90° escluso. Ma non capisco perchè include anche lo zero, come fà ad avere senso un agolo nullo? Poi si arriva a questa equazione, e fin qui tutto chiaro: $ktg^2x-tx-1=0$ poi però non capisco perchè procede a risolverla con un sistema. Potreste fornirmi delucidazioni a riguardo?

[teorema55]

Senza addentrarmi nella risoluzione del problema né nei calcoli (se le difficoltà rimarranno, magari domani…………..) ma ti invito a considerare che:
- lo zero ha senso eccome, prova ad avere in tasca zero Euro e chiedere a una signorina della notte di offrirti i suoi servigi, capirai immediatamente quanto vero sia e quanto valga detto valore. Diverso è il caso di $x=90°$, dove la tangente di x è priva di significato (per essere rigorosi, $lim_(x->90°^+)tgx=+∞$)
- detto questo, non vedo cosa ci sia da meravigliarsi del fatto che la soluzione dell'equazione richieda un sistema. Mi sembra di vedere due incognite, precisamente $k$ e $tgx$. Due incognite, due equazioni per trovarle………

Risolvi e fai sapere.

Marco

[oleg.fresi]

Per il fatto del sistema, non si tratta di risolvere un sistema di equazioni, ma un sistema parametrico, dove bisognerebbe discutere penso graficamente le soluzioni con il parametro. Poi perl la storia dello zero: stiamo parlando di oggetti geometrici ovvero angoli, poi in alcuni problemi simili a questo viene incluso, in altri no, a me sembra una scelta completamente arbitraria.

[Studente Anonimo]

"olegfresi":
... a me sembra una scelta completamente arbitraria ...

Non proprio. Intanto:

$[PhatAB=x] rarr [0 lt x lt \pi/2]$

$bar(AQ)+bar(QP)=k*bar(QB)$

Inoltre, per comprendere quali estremi dell'intervallo includere, è necessario svolgere esplicitamente i due casi limite:

Caso limite 1

$[x=0] rarr [bar(AQ)=2r] ^^ [bar(QP)=0] ^^ [bar(QB)=0] rarr [2r+0=k*0] rarr$ Impossibile

Caso limite 2

$[x=\pi/2] rarr [bar(AQ)=0] ^^ [bar(QP)=0] ^^ [bar(QB)=2r] rarr [0+0=k*2r] rarr [k=0]$

In definitiva:

$[PhatAB=x] rarr [0 lt x lt= \pi/2]$

[oleg.fresi]

Ok, ora ho capito perchè, grazie mille per l'aiuto!

[Studente Anonimo]

Tra l'altro, poichè:

$bar(AQ)=2rcos^2x$

$bar(QP)=2rcosxsinx$

$bar(QB)=2rsin^2x$

è necessario discutere la seguente equazione goniometrica:

$ksin^2x-cosxsinx-cos^2x=0$

il cui campo di esistenza comprende entrambi gli estremi. Insomma, la condizione $[x ne \pi/2]$ non è di natura geometrica, piuttosto, conseguenza dell'aver diviso entrambi i membri per $cos^2x$.

[oleg.fresi]

Grazie ancora.