Problema trigonometrico con limiti

[oleg.fresi]

Ho questo problema: è data una semicirconferenza di centro $O$ con diametro $AB=2r$. Conduci dal punto $A$ due corde $AC$ e $AD$ in modo che l'angolo $COD= pi/3$ e, sempre dal punto $A$, la semiretta tangente in $A$ alla semicirconferenza. Detta $P$ la proiezione di $C$ sulla tangente. Detto $x$ l'angolo $PAC$ esprimi in funzione di questo il rapporto (AP*CD)/A_(rea)(ACD) e calcola il limite di tale rapporto al tendere di C ad A. Io ho ragionato così: inizio col trovare $AP$ e $CD$ e poi trovo l'area.
Il triangolo $AOC$ è isoscele sulla base $AC$, gli angoli alla base misurano $pi/2-x$ e l'angolo al vertice misura $2x$, quindi per trovare $AP$ trovo prima $AC$ applicando il teorema della corda ovvero $AC=2rsin2x$ $->$ $AC=4rsinxcosx$
Poi trovo $AP$ col primo teorema sui triangoli rettangoli: $AP=ACsinx$ $->$ $AP=4rsin^2xcosx$.
Ora trovo $CD$ applicando di nuovo il teorema della corda: $CD=2rsin(pi/3)$ $->$ $CD=rsqrt(3)$.
Ora non scrivo il procedimento per l'area del triangolo perchè abbstanza lungo, ma fatto sta che il risultato non viene giusto, e sono sicurissimo di aver sbagliato a fare qualche considerazione qui.
Potreste aiutarmi a trovare l'errore?

[oleg.fresi]

Ho capito dov'è l'errore: i segmenti $OC$ e $OD$ sono raggi e ciò vuol dire che gli angoli alla base sono uguali poichè è un triangolo isoscele, l'angolo compreso tra i due raggi misura $pi/3$, ma gli angoli alla base misurano ciascuno $pi/3$ quindi il triangolo è equilatero e quindi $CD$ misura $r$. Quel che non capisco è dove sbaglio nell'applicare il teorema della corda. Stessa cosa se provo a trovare $AC$ applicando il teorema dei seni al triangolo $ACO$ mi viene $AC=2rsinx$ e invece col teorema della corda viene
$AC= 4rsinxcosx$. Potreste farmi capire dove sbaglio nell'applicare il teorema della corda?

[alessandro.de.social]

L'angolo $AOC$ è un angolo al centro, non un angolo alla circonferenza

[oleg.fresi]

Ecco, l'errore stava proprio qui! Grazie mille per il chiarimento!