Problema trigonometrico
Di un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza è nota la relazione:
$2b+h=(3+4sqrt(3))*r/2)
e si chiede il coseno dell'angolo al vertice.
Ho dunque 3 incognite: b, h, e l'angolo e una sola relazione. Utilizzando il secondo di euclide ottengo un sistema di 2° grado in b e h con calcoli pazzeschi (e mi viene il delta negativo).
Col teorema della corda e quello dei seni mi trovo da risolvere un'equazione complicatissima.
Chiedo a lorsignori se c'è una via semplice (almeno un po' più semplice di quelle accennate) per risolvere il problema.
grazie
$2b+h=(3+4sqrt(3))*r/2)
e si chiede il coseno dell'angolo al vertice.
Ho dunque 3 incognite: b, h, e l'angolo e una sola relazione. Utilizzando il secondo di euclide ottengo un sistema di 2° grado in b e h con calcoli pazzeschi (e mi viene il delta negativo).
Col teorema della corda e quello dei seni mi trovo da risolvere un'equazione complicatissima.
Chiedo a lorsignori se c'è una via semplice (almeno un po' più semplice di quelle accennate) per risolvere il problema.
grazie
Risposte
Sì.
C'è un modo molto molto più veloce.
(Fai il disegno mentre ora ti do le indicazioni)
Chiamiamo $x$ l'angolo al vertice del triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ (=$b$) , cioè l'angolo in C.
Vogliamo quindi trovare il valore di $x$.
Considera l'angolo al centro relativo a tale angolo in C, cioè l'angolo che ottieni unendo il centro della circonferenza con A e con B.
Sai che l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza e quindi tale angolo al centro è $2x$ e quindi la sua metà è $x$.
Chiamiamo $H$ il punto di intersezione dell'altezza $AC$ con la base $AB$.
Considera il triangolo $HOB$ con $O$ centro della circonferenza.
L'angolo in O è proprio la metà dell'angolo al centro di prima e quindi vale $x$.
Il triangolo $HOB$ è rettangolo e ha per ipotenusa $r$, per base $b/2$ e per altezza $h-r$.
Sfruttando la trigonometria allora hai che:
$h-r=r*cos(x)$ e quindi $h=r+r*cos(x)$
$b/2=r*sen(x)$ e quindi $2b=4*b/2=4r*sen(x)$
Sostituisco ciò nel dato del problema e ho:
$4r*sen(x)+r+r*cos(x)=(3+4sqrt(3))*r/2$
Posso semplificare $r$ da entrambe le parti e ho
$4sen(x)+1+cos(x)=(3+4sqrt(3))/2$
e quindi
$4sen(x)+1+cos(x)=3/2+4sqrt(3)/2$
e quindi
$1+cos(x)+4sen(x)=1+1/2+4sqrt(3)/2$
Ti basta quindi trovare $x$ tale che:
$cos(x)=1/2$
$sen(x)=sqrt(3)/2$
Perciò banalmente $x=\pi/3$ o se preferisci $x=60°$
C'è un modo molto molto più veloce.
(Fai il disegno mentre ora ti do le indicazioni)
Chiamiamo $x$ l'angolo al vertice del triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ (=$b$) , cioè l'angolo in C.
Vogliamo quindi trovare il valore di $x$.
Considera l'angolo al centro relativo a tale angolo in C, cioè l'angolo che ottieni unendo il centro della circonferenza con A e con B.
Sai che l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza e quindi tale angolo al centro è $2x$ e quindi la sua metà è $x$.
Chiamiamo $H$ il punto di intersezione dell'altezza $AC$ con la base $AB$.
Considera il triangolo $HOB$ con $O$ centro della circonferenza.
L'angolo in O è proprio la metà dell'angolo al centro di prima e quindi vale $x$.
Il triangolo $HOB$ è rettangolo e ha per ipotenusa $r$, per base $b/2$ e per altezza $h-r$.
Sfruttando la trigonometria allora hai che:
$h-r=r*cos(x)$ e quindi $h=r+r*cos(x)$
$b/2=r*sen(x)$ e quindi $2b=4*b/2=4r*sen(x)$
Sostituisco ciò nel dato del problema e ho:
$4r*sen(x)+r+r*cos(x)=(3+4sqrt(3))*r/2$
Posso semplificare $r$ da entrambe le parti e ho
$4sen(x)+1+cos(x)=(3+4sqrt(3))/2$
e quindi
$4sen(x)+1+cos(x)=3/2+4sqrt(3)/2$
e quindi
$1+cos(x)+4sen(x)=1+1/2+4sqrt(3)/2$
Ti basta quindi trovare $x$ tale che:
$cos(x)=1/2$
$sen(x)=sqrt(3)/2$
Perciò banalmente $x=\pi/3$ o se preferisci $x=60°$
grazie misanino. Semplice e geniale
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