Problema trigonometrico

[Lokenxo]

Salve, è da 2 ore che cerco la soluzione di questa equazione trigonometrica, senza nessun risultato.. qualcuno potrebbe spiegarmi con che passaggi arrivi alla soluzione?
L'equazione è la seguente:

$ cos2x + 2sqrt{3}sen^2x + (1+sqrt{3})sen2x -1 -2sqrt{3}=0 $

ecco, ora la formula è scritta correttamente, ed ho anche corretto $ sen2x $ che non era $ sen^2x $
grazie..

[codino75]

in cima , in ciascuna sezione c'e' una guida per scrivere "bene" le espressioni matematiche.
e' necessario per una corretta visualizzazione delle stesse.
alex

[amandy1]

Nonostante la pessima scrittura questa è una equazione riconducibile ad omogenea di 2°, basta usare le formule di duplicazione per il cos2x e moltiplicare il termine noto per $sen^2x+cos^2x$.

____________
andrea

[oronte83]

Ammesso che il testo sia:

$cos2x + 2sqrt(3)sin^2x + (1 + sqrt(3)) sin^2x -1 -2sqrt(3) =0$

Hai:

$1-2sin^2x+2sqrt(3)sin^2x + (1 + sqrt(3)) sin^2x -1 -2sqrt(3) =0$

$sin^2x(3sqrt(3)-1)-2sqrt(3)=0$

[Lokenxo]

ecco, ora l'equazione è leggibile( e senza errori) scusate..

[oronte83]

Applica le formule di duplicazione e riconduci l'equazione a omogenea, come ti è gia stato suggerito.

[Lokenxo]

ecco, io da quà
$ cos2x + 2sqrt{3}sen^2x + (1+sqrt{3})sen2x -1 -2sqrt{3}=0 $

ho fatto le seguenti operazioni:

$ 1 - sen^2x + 2sqrt{3}sen^2x + (1+sqrt{3})2senxcosx -1 -2sqrt{3}=0 $

$ - sen^2x + 2sqrt{3}sen^2x + (1+sqrt{3})2senxcosx -2sqrt{3}=0 $

$ -sen^2x(1-2sqrt{3}) + (1+sqrt{3})2senxcosx -2sqrt{3}=0 $


ora, non so come trattare il $ (1+sqrt{3})2senxcosx $

sarò di coccio, ma sto spulciando tra i libri di testo, e un modo per procedere non lo trovo
help!

[oronte83]

E' riconducibile a omogenea, quindi se moltiplichi il termine noto per $cos^2x+sin^2x$ ottieni prorpio un'omogenea di secondo grado.

[oronte83]

Credo ci sia un errore...

$cos2x=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x$

[Lokenxo]

ok fatto, ho moltiplicato come hai detto tu.. ma.. non mi sembra molto omogenea

ottengo:

$ sen^2x-(1+sqrt{3})2senxcosx+2sqrt{3}cos^2x=0 $

è omogenea se al posto di $ 2sqrt{3}cos^2x $ ho un termine noto.. o no?
cortesemente puoi fare tu i passaggi finali dell'equazione? (così ci capisco un pò)

[oronte83]

certo che è omogenea, vedi che ogni termine è di secondo grado? Non potrebbe essere omogenea in presenza di termine noto (che ha grado 0), ma eventualmente riconducibile a omogenea, come era quella iniziale.
Ora dividi tutto per coseno elevato al grado di omogeneità, dopo aver posto la condizione di esistenza e risolvi l'equazione in tangente.
Dividendo hai:

$tg^2x-2(1+sqrt(3))tgx+2sqrt(3)=0$ con $cosxne 0$, cioe $xne...$.

[Lokenxo]

ecco, tutto chiaro, allora ho corretto l'errore fatto prima, ho svolto ed ho ottenuto:

$ 2tg^2x -(2+2sqrt{3})tgx + 2sqrt{3} = 0 $

$ tg^2x - (1 + sqrt{3})tgx + sqrt{3} = 0 $

ora utilizzo la formula per la risoluzione dell'equazioni di 2° grado ed ottengo due soluzioni, che però non risultano con un valore della tangente..

[oronte83]

Tutto corretto, le soluzioni saranno:

$tgx=(1+sqrt(3)+-(1-sqrt(3)))/2$ da cui $x=...$

[Lokenxo]

ci sono due soluzioni:
x=1 e x=2sqrt{3}

quale prendo?

[oronte83]

Non x=, ma tgx=

Controlla la seconda, a me risultano $tgx=1$ e $tgx=sqrt(3)$.
Da queste ti ricavi i valori di x.

[Lokenxo]

tutto chiaro:


$ cos2x + 2sqrt{3}sen^2x+(1+sqrt{3})sen2x-1-2sqrt{3}=0 $

$ 1-2sen^2x + 2sqrt{3}sen^2x +(1+ sqrt{3})2senxcosx -1 -2sqrt{3}=0 $

$ -2sen^2x +2sqrt{3}sen^2x+2(1+sqrt{3})senxcosx-2sqrt{3}cos^2x-2sqrt{3}sen^2x=0 $

$ -2sen^2x+2(1+sqrt{3})senxcosx-2sqrt{3}cos^2x=0 $

$ sen^2x -(1+sqrt{3})senxcosx +sqrt{3}cos^2x=0 $ Pongo $ cos^2x $ diverso da 0, quindi x diverso da 1 e divido

$ tg^2x -(1+sqrt{3})tgx + sqrt{3} = 0 $

$ tgx = (1+sqrt{3}+-(1-sqrt{3}))/2 $

$ tgx= sqrt{3} $ e $ tgx= 1 $

Prendo solo la soluzione $ tgx= sqrt{3} $ quindi, $ x= pi/3 + kpi $

[oronte83]

Sbagli la condizione di esistenza:

$cosxne0$ significa $xne pi/2+kpi$.

Poi perche non vuoi considerare anche la soluzione $tgx=1$?