Problema trigonometria impossibile!!!!!!
Ciao devo risolvere questo problema e sto impazzendo!!!!!! Dato un triangolo equilatero ABC di lato 3, considerare un punto P sul lato BC tale che PÂB=x e indicare con M e N i punti di intersezione di AP con la circonferenza inscritta. Dette H e K le proiezioni di B e C su AP o sul suo prolungamento, determina l’espRessione della funzione y=BH^2+ MN^2+CK^2
Risposte
Ammetto di aver incontrato parecchie difficoltà e non so neppure se ho trovato la via più veloce per risolvere il problema.
Tolti i casi limite (che sono semplici), ricaviamo BH e CK
Sappiamo che AK = AB cos x = 3 cos x perché cateto del triangolo rettangolo ABK con ipotenusa nota
KB = 3 sen x per analoghe motivazioni
CH = 3 sen (60-x) e AH = 3 cos (60-x) per applicazione di quanto sopra, sul triangolo AHC
Applichi il teorema di Carnot e trovi il lato mancante (tra l'altro la relazione presenta tutti i segmenti al quadrato, quindi sei pure agevolato)
Il problema enorme, onestamente, l'ho incontrato per determinare MN.
Ho ragionato così...
MN è la base del triangolo isoscele MNO, dove O è il centro della circonferenza inscritta.
Come sai (ma si calcola facilmente) la circonferenza inscritta ha raggio l/4 radice di 3 (quindi nel caso dell'esercizio
MN sarà la base del triangolo isoscele MNO di lato r.
Traccia l'altezza del triangolo isoscele MNO e chiamala OT
Questa sarò anche il cateto del triangolo rettangolo AOT di cui conosci l'ipotenusa
Ricavi l'altezza e quindi ricavi MN in quanto base del triangolo isoscele MON di altezza OT (ricavata) e lato raggio.
Unico accorgimento è che questo discorso lo puoi applicare se spacchi in due il problema.
Infatti per P che varia da B al punto medio di BC, l'angolo che ho segnato con (**) sarà 30-x, mentre per P che va dal punto medio di BC a C l'angolo (**) sarà x-30
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Se hai bisogno anche dello sviluppo (ma direi che sono solo conti....) sono a disposizione.
Se nel frattempo lo avete risolto con altro metodo, ti sarei grado se lo postassi (almeno a grandi linee) in modo da aiutare eventualmente altri utenti che dovessero trovarsi di fronte ad un problema simile o identico ;)
Tolti i casi limite (che sono semplici), ricaviamo BH e CK
Sappiamo che AK = AB cos x = 3 cos x perché cateto del triangolo rettangolo ABK con ipotenusa nota
KB = 3 sen x per analoghe motivazioni
CH = 3 sen (60-x) e AH = 3 cos (60-x) per applicazione di quanto sopra, sul triangolo AHC
Applichi il teorema di Carnot e trovi il lato mancante (tra l'altro la relazione presenta tutti i segmenti al quadrato, quindi sei pure agevolato)
Il problema enorme, onestamente, l'ho incontrato per determinare MN.
Ho ragionato così...
MN è la base del triangolo isoscele MNO, dove O è il centro della circonferenza inscritta.
Come sai (ma si calcola facilmente) la circonferenza inscritta ha raggio l/4 radice di 3 (quindi nel caso dell'esercizio
[math] \frac34 \sqrt{3} [/math]
) e distanza vertice del triangolo (qualunque vertice, è equilatero...)/centro della circonferenza il doppio del raggio [math] \frac32 \sqrt3 [/math]
MN sarà la base del triangolo isoscele MNO di lato r.
Traccia l'altezza del triangolo isoscele MNO e chiamala OT
Questa sarò anche il cateto del triangolo rettangolo AOT di cui conosci l'ipotenusa
[math] \frac32 \sqrt3 [/math]
e l'angolo opposto (**) (30-x)Ricavi l'altezza e quindi ricavi MN in quanto base del triangolo isoscele MON di altezza OT (ricavata) e lato raggio.
Unico accorgimento è che questo discorso lo puoi applicare se spacchi in due il problema.
Infatti per P che varia da B al punto medio di BC, l'angolo che ho segnato con (**) sarà 30-x, mentre per P che va dal punto medio di BC a C l'angolo (**) sarà x-30
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Se hai bisogno anche dello sviluppo (ma direi che sono solo conti....) sono a disposizione.
Se nel frattempo lo avete risolto con altro metodo, ti sarei grado se lo postassi (almeno a grandi linee) in modo da aiutare eventualmente altri utenti che dovessero trovarsi di fronte ad un problema simile o identico ;)
Ciao Sic80 e ciao Bit5.
Ho provato a svolgerlo anche io, stesso procedimento ma non mi trovo con il raggio della circonferenza inscritta, esso vale 1/3 di h quindi 1/3 di lsen(60°)e dunque 1/3 x 3 x radical(3)/2 = radical(3)/2
Ho provato a svolgerlo anche io, stesso procedimento ma non mi trovo con il raggio della circonferenza inscritta, esso vale 1/3 di h quindi 1/3 di lsen(60°)e dunque 1/3 x 3 x radical(3)/2 = radical(3)/2
Corretto
ho fatto un errore di calcolo...
E' l'altezza del triangolo equilatero che misura
Di tale lunghezza, il raggio della circonferenza inscritta rappresenta 1/3
Mentre la distanza tra il centro della circonferenza e un vertice qualunque sarà pari al doppio della lunghezza del raggio, (ovvero 2/3 dell'altezza) quindi radice di 3
Grazie danyper ;)
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Certo che è triste averci lavorato in due per non avere neppure un riscontro...
ho fatto un errore di calcolo...
E' l'altezza del triangolo equilatero che misura
[math] \frac32 \sqrt3 [/math]
Di tale lunghezza, il raggio della circonferenza inscritta rappresenta 1/3
[math] r = \frac{\sqrt3}{2} [/math]
Mentre la distanza tra il centro della circonferenza e un vertice qualunque sarà pari al doppio della lunghezza del raggio, (ovvero 2/3 dell'altezza) quindi radice di 3
Grazie danyper ;)
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Certo che è triste averci lavorato in due per non avere neppure un riscontro...
Ciao Bit%
Eh si !!
Spesso i ragazzi lasciano passare un pò di tempo
Eh si !!
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