Problema Trigonometria.

Micky941
In un triangolo ABC, rettangolo in A, condurre la mediana AO e l'altezza AH. Sapendo che AH=4,8 e che tan AOB=24/7, determinare le misure dei lati del triangolo e le funzioni goniometriche seno e coseno, di C.
Ho ragionato pensando che il triangolo potesse essere iscritto in una semicirconferenza e che quindi AO=BO=OC ma non so come andare avanti...

Grazie mille in anticipo!

Risposte
chiaraotta1
Se indichiamo con $theta$ l'angolo $A\hatOB$, da $tan(theta)=24/7$ si può ricavare che $sin(theta)=24/25$ e $cos(theta)=7/25$ (da $tan^2(theta)=(24/7)^2=(sin^2(theta))/(1-sin^2(theta))$ si ricava $sin^2(theta)$ e quindi $sin(theta)$; poi $cos(theta)=(sin(theta))/(tan(theta))$).
Noti questi, si calcola $AO=(AH)/sin(theta)=(4,8)/(24/25)=5$, $OB=5$, $OC=5$ e quindi $BC=10$. Inoltre $AB=sqrt(AO^2+OB^2-2*AO*OB*cos(theta))=sqrt(25+25-2*5*5*7/25)=sqrt(36)=6$. Infine $AC=sqrt(BC^2-AB^2)=sqrt(100-36)=sqrt(64)=8$.
Noti i lati del triangolo, se indichiamo con $gamma$ l'angolo in $hatC$, $sin(gamma)=(AB)/(BC)=6/10=3/5$; $cos(gamma)=(AC)/(BC)=8/10=4/5$.

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