Problema trigonometria

[driver_458]

Di un triangolo ABC si conoscono BC=a e la mediana AD relativa al lato BC, mediana che misura $(sqrt(3))/6$. Si sa inoltre che ABC+ACB=60°. Determinare gli angoli del triangolo.

Non so cosa devo fare? So solo che il terzo angolo è 120°.
Ho provato con la formula del seno ma non riesco a venirne fuori

[Albert Wesker 27]

Ti consiglio di considerare l'angolo $ ACB $ come l'incognita $ x $. A quel punto l'angolo $ ABC $ ti diventa $ pi/3-x $. La mediana $ bar(AM) $ te la fornisce il testo mentre $ bar(CM) $ = $ bar(BM) $ = $ a/2 $. A questo punto il triangolo iniziale ti si divide in due triangoli aventi un lato in comune (la mediana) e dei quali conosci un angolo e due lati. Ricordati poi che l'angolo in $A$ (che viene diviso dalla mediana) , come hai osservato, varrà $ 2pi/3 $. Ricordandoti del teorema dei seni, sei ora in grado di risolvere il problema?

EDIT: Idiota io. Esprimere tutto in funzione di $x$ non credo di aiuterà. Purtroppo sono di fretta e ci ho pensato 2 minuti e cosi mi sa proprio che rischio di mandarti fuori strada. Se riesco al tornare stasera al PC faccio un diesgno cosi da avere la situazione più chiara.

[driver_458]

Fin qui ci ero arrivato,, ma poi applicando il teorema dei seni oltre alla x ho altre incognite...

[giammaria2]

Il fatto che un segmento sia a e l'altro un numero complica molto i calcoli, che quindi non ha completato. Sicuro che la mediana non sia $sqrt3/6 a$? La mia traccia di soluzione, probabilmente migliorabile, è questa: posto $x=B \hatAD$, e quindi $D \hatAC=120^o-x$, col teorema dei seni calcolo quelli di $\hatB, \hatC$, poi impongo che i punti B, C, D siano allineati chiedendo che sia $\hatB+ \hatC=120^o$.

[Albert Wesker 27]

Avevo provato anche io quella impostazione ma i calcoli sono davvero rognosi, il che mi semrava strano.

[giammaria2]

Ma sarebbero molto più abbordabili se BC e la mediana fossero entrambi multipli di a; da qui la mia domanda a caseyn27. Ho comunque provato a farli: acquistano una gradevole simmetria indicando i due angoli in A con 60°+x e 60°-x. Indicando con $s_1,s_2$ i loro seni e con b la mediana, arrivo a $16b^2(s_1^2+s_1s_2+s_2^2)=3a^2$, salvo errori nei lunghi calcoli.

[giammaria2]

Ho continuato a cercare una soluzione che non richiedesse troppi calcoli, trovando quella che segue. Se qualcuno ha una soluzione migliore, lo prego di renderla nota.
Pongo $AD=b; A \hatDB=x; B \hatAD=u; D \hatAC=v$,con $u+v=120^o$. Se ne deduce $\hatB=180^o-(x+u)$ nonché $\hatC=180^o-v-(180^o-x)=x-v$.
Applicando il teorema dei seni ai triangoli ABD e ADC, dopo un facile passaggio trovo
${(a sen(x+u)=2bsen u),(asen(x-v)=2bsenv):}$ cioè ${(a senx cosu+a cosx sen u=2bsen u),(a senx cosv-acosx senv=2bsenv):}$
Con combinazioni lineari, elimino prima il coseno e poi il seno di x, ottenendo
${(a senx(cosu senv+cosv sen u)=2b*2 sen u senv),(a cosx(sen u cosv+senv cosu)=2b(sen u cosv-senv cosu)):}$
Ma si ha
$cosu senv+cosv sen u=sen(u+v)=sen120^o=sqrt3/2$
$2sen u cosv=cos(u-v)-cos(u+v)=cos(u-v)-cos120^o=cos(u-v)+1/2$
$sen u cosv-senv cosu=sen(u-v)$
e quindi il sistema è
${(sqrt3/2asenx=2b[cos(u-v)+1/2]),(sqrt3/2acosx=2bsen(u-v)):}$
Quadrando, sommando ed applicando la prima formula fondamentale della goniometria ottengo
$3/4a^2=4b^2[1+cos(u-v)+1/4]$
e basta qualche passaggio algebrico per avere
$cos(u-v)=(3a^2-20b^2)/(16b^2)$
Con i dati inizialmente forniti si può proseguire solo con l'arcocoseno; con la correzione da me proposta e cioè $b=sqrt3/6a$ il secondo membro vale 1, quindi $u=v$: la mediana è anche bisettrice e il triangolo è isoscele.
Questa conclusione suggerisce anche un altro metodo: notare che il triangolo isoscele è soluzione in quanto soddisfa ai dati forniti e dimostrare che è l'unica (non ho provato e non so se è facile o no); considero però poco soddisfacente un metodo che si basa sul fatto di essere in un caso particolare.