Problema trigonometria (47597)

[luixfux]

Sia ABCD un quadrato di lato 2r. Traccia la circonferenza di diametro AB e considera un punto P appartenente alla semicirconferenza interna al quadrato, ponendo PAB=x. Sia P' il simmetrico di P rispetto ad AB.
Determina la funzione:

[math]f(x)= DP'^2-PA^2[/math]

rappresentala graficamente ed evidenzia la parte del grafico relativa al problema. In tale tratto indica il massimo e il minimo valore della funzione. Trova per quale valore di x la funzione assume valore massimo.

Grazie!!!

Aggiunto 1 ore 7 minuti più tardi:

grazie mille!!! :D

[BIT5]

Completa la costruazione, tracciando il segmento BP;

il triangolo ABP e' inscritto in una semicirconferenza, e pertanto e' rettangolo in BPA.

Nota l'ipotenusa (AB=2r) possiamo dunque calcolare AP , dal momento che il rapporto tra cateto e ipotenusa e' uguale al coseno dell'angolo compreso tra questi:

Quindi

[math] \cos x = \frac{\bar{AP}}{\bar{AB}} \to \bar{AP} = 2r \cos x [/math]

Dal momento che il punto P' e' simmetrico rispetto a P, avremo che il triangolo APP' e' isoscele, AB e' il segmento su cui giace l'altezza, e pertanto APP' e' isoscele e AP'=AP=2rcosx, e l'angolo P'AB e' anch'esso x.

Considera infine P'AD, il triangolo di cui conosciamo due lati (AD=2r, AP'=2rcosx) e l'angolo compreso (90+x)

Per il teorema di Carnot, avremo

[math] P'D^2=4r^2+4r^2 \cos^2 x - (2r)(2r \cos x) \cos (90+x) [/math]

E siccome per gli angoli associati cos (90+x)= - sen x

La relazione di cui sopra sara'

[math] P'D^2=4r^2+4r^2 \cos^2 x + 4r^2 \cos x \sin x [/math]

E dunque la funzione sara'

[math] f(x)=4r^2+4r^2 \cos^2 x +4r^2 \cos x \sin x - 4r^2 \cos^2x = 4r^2+4r^2 \cos x \sin x [/math]

A questo punto studi la funzione come sai.

Ricordati solo le limitazioni....

Per definizione, come imposto dal problema, x sara' compreso tra 0 e pigreco/mezzi....

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