Problema trigonometria (26073)

[blackbird91]

Salve a tutti, mi sono registrato oggi e con questo topic volevo cogliere l'occasione anche per salutarvi tutti.

Purtroppo sono bloccato nel seguente problema:

Nel trapezio rettangolo ABCD di base maggiore AB e di base minore DC, è AD=DC=8. E ed F sono le proiezioni sulla retta CB, rispettivamente, di D e A. Indica con x l'angolo ABC e con f(x) la funzione data da AF+DE+EC.

Calcola per quali valori di x si ha: f(x)= 8√6

Ora, io ho proceduto così:

mi sono trovato la base maggiore del trapezio, e risolto tutto di conseguenza con i 2 teoremi dei triangoli rettangoli. Ma purtroppo non mi torna!

Il risultato dovrebbe essere: x=π/12 V x=5/12 π

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto ;)

[ciampax]

Allora, prima di tutto osserva che gli angoli

[math]A\widehat{B}C=D\widehat{E}C=x[/math]

. A questo punto se indichiamo con

[math]a=AD=DC=8[/math]

segue

[math]DE=a\cdot\sin x,\qquad EC=a\cdot\cos x[/math]

.

Se indichi con H il piede dell'altezza relativa alla base maggiore che parte dal vertice C puoi scrivere

[math]AB=AH+HB=a+HB[/math]

Ma hai pure

[math]CH/HB=\tan x[/math]

e poiché CH=a ne deduci

[math]HB=a/tan x,\qquad AB=a+a/\tan x=a\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}[/math]

e quindi

[math]AF=AB\cdot \sin x=a(\sin x+\cos x)[/math]

.

La funzione vale allora

[math]f(x)=a(\sin x+\cos x+\sin x+\cos x)=2a(\sin x+\cos x)=8\sqrt{6}[/math]

e quindi ottieni l'equazione

[math]\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{6}}{2}.[/math]

Le soluzioni di questa equazione sono quelle che hai indicato.

[blackbird91]

Mille grazie!

[ciampax]

Chiudo!