Problema trigonometria (208188)
Non riesco a fare questo problema. credo di impostarlo giusto, ma non mi vengono i calcoli....
Considera il triangolo rettangolo ABC inscritto in una circonferenza di diametro AB = 2r : sul lato BC costruisci il quadrato BPQC esternamente al triangolo. Sai che il trapezio ABPQ ha area S = (4 + 3√2)/2 * r^2 : quanto misura l’angolo BAC?
Risultato: arctg(5√2 +7)
Considera il triangolo rettangolo ABC inscritto in una circonferenza di diametro AB = 2r : sul lato BC costruisci il quadrato BPQC esternamente al triangolo. Sai che il trapezio ABPQ ha area S = (4 + 3√2)/2 * r^2 : quanto misura l’angolo BAC?
Risultato: arctg(5√2 +7)
Risposte
Effettivamente anche a me vengono calcoli da paura, in un problema geometricamente semplice.
Per semplificare un po' i conti possiamo porre r=1 in quanto il raggio rappresenta solo un fattore di proporzionalità, quindi
AB = 2r = 2
Chiamando
x = BC
y = AC
l'angolo BAC è:
.
l'area del trapezio è uguale all'area del quadrato più quella del triangolo
.
.
Poi con Pitagora troviamo:
.
Ora sono calcoli (renali, temo): sistema, sostituzione ecc. ecc.
Fammi sapere se anche tu l'avevi impostato così.
Dopo cena proverò a vedere se trovo un modo più semplice
Aggiunto 1 ora 34 minuti più tardi:
Ho avuto un flash e questo succede quando non si analizzano bene i dati del problema. In questo caso ho trascurato il fatto che è un problema trigonometrico.
Quindi chiamiamo
a = angolo BAC
allora
BC = 2R•sen a
AC = 2R•cos a
Il procedimento di prima è sempre valido, così come porre R=1, quindi:
BC = 2sena
AC = 2cosa
.
al posto di x e y mettici seno e coseno e prova a fare i conti.
Per semplificare un po' i conti possiamo porre r=1 in quanto il raggio rappresenta solo un fattore di proporzionalità, quindi
AB = 2r = 2
Chiamando
x = BC
y = AC
l'angolo BAC è:
[math]BAC=arctg\frac{BC}{AC}=arctg\frac{x}{y}[/math]
..
l'area del trapezio è uguale all'area del quadrato più quella del triangolo
.
[math]S=x^2+\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}(2x^2+xy)[/math]
..
Poi con Pitagora troviamo:
[math]x^2+y^2=4[/math]
..
Ora sono calcoli (renali, temo): sistema, sostituzione ecc. ecc.
Fammi sapere se anche tu l'avevi impostato così.
Dopo cena proverò a vedere se trovo un modo più semplice
Aggiunto 1 ora 34 minuti più tardi:
Ho avuto un flash e questo succede quando non si analizzano bene i dati del problema. In questo caso ho trascurato il fatto che è un problema trigonometrico.
Quindi chiamiamo
a = angolo BAC
allora
BC = 2R•sen a
AC = 2R•cos a
Il procedimento di prima è sempre valido, così come porre R=1, quindi:
BC = 2sena
AC = 2cosa
[math]sen^2a+cos^2a=1[/math]
. .
al posto di x e y mettici seno e coseno e prova a fare i conti.
infatti sono i conti il problema..
Viene
8 sen^2 a + 4 sen a cos a = 4 + 3√2
non riesco a risolverlo
Viene
8 sen^2 a + 4 sen a cos a = 4 + 3√2
non riesco a risolverlo
Esatto.
Viene fuori una equazione biquadratica.
Per semplificare la scrittura mi sa che conviene ritornare a "x" e "y".
Ponendo (a scelta)
sen a = y
cos a = x
scriviamo:
.
.
perché stiamo scrivendo x e y ma in realtà sono seno e coseno.
Ora:
.
.
Essendo una equazione irrazionale dobbiamo isolare la radice:
.
.
Ecco la biquadratica che ti dicevo.
CONTROLLA BENE I CALCOLI perché sto scrivendo e facendo i conti tutto insieme e qualche svista o errore di digitazione è sempre in agguato!
Ora bisognerebbe fare un altro cambio di variabile ponendo
ma non serve. Basta applicare la formula risolutiva così:
o, meglio, quella ridotta
ricordandoci poi che i valori trovati sono "
Aggiunto 5 ore 47 minuti più tardi:
TROVATO L'ERRORE E LA SVISTA
nell'ultima riga dell'equazione
.
Inoltre, ovviamente, manca "= 0" nelle ultime due righe.
Devo dire che, da una parte, sono contento di farti rimarcare un mio errore perché ora posso a pieno titolo darti un consiglio sacrosanto:
per sua natura il cervello umano tende a prendere per vero quello che vede.
Quindi se per errore in un passaggio al posto di 3x4 nella riga sotto scrivi 14, quando vai a ricontrollare è molto probabile NON VEDERE l'errore, magari perché c'è una qualche "assonanza" (tre per QUATTRO e QUATTOrdici), oppure nel mio caso c'era un "+" sopra e l'ho copiato sotto.
In ogni caso, quando il risultato non torna, va bene fare un rapido controllo per cercare errori MACROSCOPICI, ma il più delle volte NON si trovano tutti gli sbagli. Quindi il mio consiglio, dettato come vedi dall'esperienza, è quello di GIRARE PAGINA e rifare tutto da capo. Vedrai che la seconda volta, senza avere "SUGGERIMENTI" erronei da quello che leggi, dirai: Toh, prima "12" non ce lo avevo! Come mai?
E' solo così che si trovano gli errori e si arriva al risultato giusto
Viene fuori una equazione biquadratica.
Per semplificare la scrittura mi sa che conviene ritornare a "x" e "y".
Ponendo (a scelta)
sen a = y
cos a = x
scriviamo:
.
[math]8y^2+4xy=4+3\sqrt2\\x^2+y^2=1\\x=\sqrt{1-y^2}[/math]
..
perché stiamo scrivendo x e y ma in realtà sono seno e coseno.
Ora:
.
[math]8y^2+4y\sqrt{1-y^2}=4+3\sqrt2[/math]
..
Essendo una equazione irrazionale dobbiamo isolare la radice:
.
[math]4y\sqrt{1-y^2}=4+3\sqrt2-8y^2\\(4y\sqrt{1-y^2}\ )^2=(4+3\sqrt2-8y^2)^2\\16y^2(1-y^2)=16+18+64y^4+24\sqrt2-64y^2-48\sqrt2\cdot y^2\\16y^2-16y^4=64y^4-64y^2+48\sqrt2\cdot y^2+34+24\sqrt2\\(MAMMA\ MIA!!!)\\80y^4-80y^2+48\sqrt2\cdot y^2+34+24\sqrt2\\40y^4-(40+24\sqrt2)y^2+17+12\sqrt2[/math]
..
Ecco la biquadratica che ti dicevo.
CONTROLLA BENE I CALCOLI perché sto scrivendo e facendo i conti tutto insieme e qualche svista o errore di digitazione è sempre in agguato!
Ora bisognerebbe fare un altro cambio di variabile ponendo
[math]y^2=z[/math]
. ma non serve. Basta applicare la formula risolutiva così:
[math]y^2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
.o, meglio, quella ridotta
ricordandoci poi che i valori trovati sono "
[math]y^2[/math]
" e non "y"Aggiunto 5 ore 47 minuti più tardi:
TROVATO L'ERRORE E LA SVISTA
nell'ultima riga dell'equazione
[math]al\ posto\ di\\(40+24\sqrt2)\\va\ messo\ ovviamente:\\(40-24\sqrt2)[/math]
. .
Inoltre, ovviamente, manca "= 0" nelle ultime due righe.
Devo dire che, da una parte, sono contento di farti rimarcare un mio errore perché ora posso a pieno titolo darti un consiglio sacrosanto:
per sua natura il cervello umano tende a prendere per vero quello che vede.
Quindi se per errore in un passaggio al posto di 3x4 nella riga sotto scrivi 14, quando vai a ricontrollare è molto probabile NON VEDERE l'errore, magari perché c'è una qualche "assonanza" (tre per QUATTRO e QUATTOrdici), oppure nel mio caso c'era un "+" sopra e l'ho copiato sotto.
In ogni caso, quando il risultato non torna, va bene fare un rapido controllo per cercare errori MACROSCOPICI, ma il più delle volte NON si trovano tutti gli sbagli. Quindi il mio consiglio, dettato come vedi dall'esperienza, è quello di GIRARE PAGINA e rifare tutto da capo. Vedrai che la seconda volta, senza avere "SUGGERIMENTI" erronei da quello che leggi, dirai: Toh, prima "12" non ce lo avevo! Come mai?
E' solo così che si trovano gli errori e si arriva al risultato giusto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo