Problema trigonometria.
Salve a tutti. Potreste aiutarmi nella risoluzione di questo problema di trigonometria?
Ho un triangolo con angoli Alfa, Beta e Gamma, dove so che il seno dell'angolo Alfa è pari a 1/4, il coseno dell'angolo Beta è pari a 1/3.
Vorrei sapere quanto vale il coseno dell'angolo Gamma.
Grazie a tutti.
Ho un triangolo con angoli Alfa, Beta e Gamma, dove so che il seno dell'angolo Alfa è pari a 1/4, il coseno dell'angolo Beta è pari a 1/3.
Vorrei sapere quanto vale il coseno dell'angolo Gamma.
Grazie a tutti.
Risposte
Benvenuto al forum nocerino90 e buona permanenza (vedo che questo è il tuo primo messaggio). Nick calcistico? 
Un metodo abbastanza immediato - ma non so se è quello "voluto" dall'esercizio - è quello di trovare, calcolatrice alla mano, $\alpha$ e $\beta$ a partire dai loro valori di seno e coseno. Una volta trovati, sappiamo che $\gamma=\pi-\alpha-\beta$ dal momento che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$.
Tuttavia bisogna stare attenti a dare un senso ai valori che si trovano: faccio un esempio.
$arcsin(1/2)= \pi/6$ ma vale anche - confronta con gli archi associati
- $arcsin(1/2)= \pi-\pi/6=5/6 \pi$.
Un buon metodo per scegliere quale dei due angoli sia è quello di vedere se, sommato all'altro angolo trovato, il risultato è $>\pi$ (e una cosa del genere contrasta con il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$).
Un metodo abbastanza immediato - ma non so se è quello "voluto" dall'esercizio - è quello di trovare, calcolatrice alla mano, $\alpha$ e $\beta$ a partire dai loro valori di seno e coseno. Una volta trovati, sappiamo che $\gamma=\pi-\alpha-\beta$ dal momento che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$.
Tuttavia bisogna stare attenti a dare un senso ai valori che si trovano: faccio un esempio.
$arcsin(1/2)= \pi/6$ ma vale anche - confronta con gli archi associati
- $arcsin(1/2)= \pi-\pi/6=5/6 \pi$.Un buon metodo per scegliere quale dei due angoli sia è quello di vedere se, sommato all'altro angolo trovato, il risultato è $>\pi$ (e una cosa del genere contrasta con il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$).
Ciao,
propongo anche questo metodo. Sappiamo che $$\alpha+\beta+\gamma = \pi$$ quindi $$\cos\gamma = \cos\left(\pi-\left(\alpha+\beta\right)\right) = -\cos\left(\alpha+\beta\right)$$ Dalle formule di somma del coseno possiamo quindi dire $$\cos \gamma = -\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ Ricordando che vale $$\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$$ possiamo ricavare $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \qquad\qquad \sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ In conclusione si ottiene $$\cos\gamma = -\frac{\sqrt{15}}{12}+\frac{\sqrt{2}}{6}$$
propongo anche questo metodo. Sappiamo che $$\alpha+\beta+\gamma = \pi$$ quindi $$\cos\gamma = \cos\left(\pi-\left(\alpha+\beta\right)\right) = -\cos\left(\alpha+\beta\right)$$ Dalle formule di somma del coseno possiamo quindi dire $$\cos \gamma = -\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ Ricordando che vale $$\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$$ possiamo ricavare $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \qquad\qquad \sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ In conclusione si ottiene $$\cos\gamma = -\frac{\sqrt{15}}{12}+\frac{\sqrt{2}}{6}$$
Grazie dell'accoglienza e delle risposte.
Siiiiiiii nick calcistico
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