Problema triangolo rettangolo
Testo: ' in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è lunga $ a $ e la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di $ 2 sqrt (3a) $ la proiezione del cateto minore. Calcola il rapporto fra le aree dei triangoli rettangoli che l'altezza determina. '
chiamo $ x $ la proiezione del cateto minore $ BH $. La proiezione del cateto maggiore $ CH $ è quindi $ 2 sqrt (3a) + x $
Per il secondo teorema di Euclide: $ AH^2 = BH * CH => a^2 = (2 sqrt (3a) + x) * x = x^2 + 2 sqrt (3a) - a^2 = 0 $
Risolvo l'equazione di secondo grado: $[ - 2 sqrt (3a) + sqrt (12a + 4a^2)] / 2 => [ -2 sqrt (3a) + sqrt [ 4a(3 + a)] ] / 2 => [ - 2 sqrt (3a) + 2 sqrt (a(3+a))] / 2 => [ 2 sqrt (3a - 3a + a^2) ] / 2 = a $
Facendo il rapporto fra AHC e AHB mi viene $ [2 sqrt (3a) + a] / a $ ma il risultato non è corretto.
Dove sbaglio?
chiamo $ x $ la proiezione del cateto minore $ BH $. La proiezione del cateto maggiore $ CH $ è quindi $ 2 sqrt (3a) + x $
Per il secondo teorema di Euclide: $ AH^2 = BH * CH => a^2 = (2 sqrt (3a) + x) * x = x^2 + 2 sqrt (3a) - a^2 = 0 $
Risolvo l'equazione di secondo grado: $[ - 2 sqrt (3a) + sqrt (12a + 4a^2)] / 2 => [ -2 sqrt (3a) + sqrt [ 4a(3 + a)] ] / 2 => [ - 2 sqrt (3a) + 2 sqrt (a(3+a))] / 2 => [ 2 sqrt (3a - 3a + a^2) ] / 2 = a $
Facendo il rapporto fra AHC e AHB mi viene $ [2 sqrt (3a) + a] / a $ ma il risultato non è corretto.
Dove sbaglio?
Risposte
"HowardRoark":L'ultima implicazione è falsa. Comunque a naso direi proprio che la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di \(2\sqrt{3}a\) (e non \(2\sqrt{3a}\)) la proiezione del cateto minore; controlla.
$[ - 2 sqrt (3a) + sqrt (12a + 4a^2)] / 2 => [ -2 sqrt (3a) + sqrt [ 4a(3 + a)] ] / 2 => [ - 2 sqrt (3a) + 2 sqrt (a(3+a))] / 2 => [ 2 sqrt (3a - 3a + a^2) ] / 2 $
"seb":L'ultima implicazione è falsa. Comunque a naso direi proprio che la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di \(2\sqrt{3}a\) (e non \(2\sqrt{3a}\)) la proiezione del cateto minore; controlla.[/quote]
[quote="HowardRoark"]$[ - 2 sqrt (3a) + sqrt (12a + 4a^2)] / 2 => [ -2 sqrt (3a) + sqrt [ 4a(3 + a)] ] / 2 => [ - 2 sqrt (3a) + 2 sqrt (a(3+a))] / 2 => [ 2 sqrt (3a - 3a + a^2) ] / 2 $
Perché sarebbe falsa? Ho solo raccolto il 2 a fattore comune.
Comunque ho controllato più volte e anch'io credevo fosse più verosimile $ 2 sqrt(3) a $, e invece è proprio $ 2 sqrt (3a) $
Probabilmente c'è un errore nel testo. Per cortesia metti le soluzioni del testo che possimo vedere se è corretto ed eventualmente trovare l'errore.
"HowardRoark":L'ultima implicazione è falsa. Comunque a naso direi proprio che la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di \(2\sqrt{3}a\) (e non \(2\sqrt{3a}\)) la proiezione del cateto minore; controlla.[/quote]
[quote="seb"][quote="HowardRoark"]$[ - 2 sqrt (3a) + sqrt (12a + 4a^2)] / 2 => [ -2 sqrt (3a) + sqrt [ 4a(3 + a)] ] / 2 => [ - 2 sqrt (3a) + 2 sqrt (a(3+a))] / 2 => [ 2 sqrt (3a - 3a + a^2) ] / 2 $
Perché sarebbe falsa? Ho solo raccolto il 2 a fattore comune.Oddio! Mi sa che hai ragione! Posso anche raccogliere a fattore comune; il problema è che i termini con coefficienti $ 1 $ e $ - 1 $ non sarebbero simili,avendo come fattori radici diverse. Devo essermi confuso...
Comunque ho controllato più volte e anch'io credevo fosse più verosimile $ 2 sqrt(3) a $, e invece è proprio $ 2 sqrt (3a) $[/quote]
La soluzione è $ 7 + 4 sqrt(3) $
L'errore di testo è proprio quello supposto da seb.
La proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di $ 2 a sqrt (3) $ la proiezione del cateto minore.
Con questa correzione ed il procedimento da te adottato ottieni
$bar(BH)=a(2-sqrt3)$
$bar(CH)=a(2+sqrt3)$
e il rapporto delle aree (dopo aver razionalizzato) viene proprio quello indicato dal libro.
La proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di $ 2 a sqrt (3) $ la proiezione del cateto minore.
Con questa correzione ed il procedimento da te adottato ottieni
$bar(BH)=a(2-sqrt3)$
$bar(CH)=a(2+sqrt3)$
e il rapporto delle aree (dopo aver razionalizzato) viene proprio quello indicato dal libro.
"@melia":
L'errore di testo è proprio quello supposto da seb.
La proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa supera di $ 2 a sqrt (3) $ la proiezione del cateto minore.
Con questa correzione ed il procedimento da te adottato ottieni
$bar(BH)=a(2-sqrt3)$
$bar(CH)=a(2+sqrt3)$
e il rapporto delle aree (dopo aver razionalizzato) viene proprio quello indicato dal libro.
Perfetto, grazie!
"HowardRoark":Non è così: hai pure messo sotto lo stesso segno di radice i due addendi radicali.
Perché sarebbe falsa? Ho solo raccolto il 2 a fattore comune.
"seb":Non è così: hai pure messo sotto lo stesso segno di radice i due addendi radicali.[/quote]
[quote="HowardRoark"]Perché sarebbe falsa? Ho solo raccolto il 2 a fattore comune.
Sì, me ne sono accorto, infatti sopra mi sono corretto.
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