Problema triangolo qualunque

[Themirhaccio]

Considerato il triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza di raggio r determinare sul minore degli archi AB un punto P in modo che, detti M ed H i punti medi dei lati AC e BC si abbia:
$ PM^2 + PH^2 = k AB^2 $
il problema va svolto utilizzando il teorema del coseno o di Carnot

Allora, posso calcolarmi la lunghezza del segmento che unisce i due punti medi, essendo la metà del lato del triangolo equilatero e quindi

$ MH = root()(3)/2 r $

detto l'angolo

$ Hhat(P) M = x $ ho dal teorema del coseno che

$ bar(HM)^2 = bar(PM)^2+bar(PH)^2 -2bar(PH)bar(PM)cosx $

e quindi:

$ bar(HM)^2 + 2bar(PH)bar(PM)cosx = bar(PM)^2+bar(PH)^2 $

ma non arrivo a calcolare PH e PM....un aiuto? Grazie!

[giammaria2]

Io lo imposterei in modo diverso: posto $BhatAP=B hatCP=x$, calcolo AP e PB col teorema della corda e poi PM e PH applicando Carnot ai triangoli APM e BPH.

[@melia]

Se indichi con x l'angolo $hat(PAB)$ ce la fai infatti puoi calcolarti anche $hat(PBA)$ perché $hat(APB)=120°$, per calcolare PM e PH usi Carnot suoi triangoli PMA e PHB.

Sono arrivata seconda, ma è appena un po' diverso e lo lascio.

[Themirhaccio]

Perfetto. Grazie mille a tutti e due per la risposta