Problema triangolo equilatero con discussione
Ciao ragazzi questo è il testo del problema:
Dato il triangolo equilatero ABC di lato a, condurre con centro in A la circonferenza di raggio a/2 che interseca il lato AB in M e il lato AC in N. Determinare sull'arco MN interno al triangolo un punto P in modo che risulti :
$ bar(PB)=k*bar(PC) $
Io ho incominciato cercando sia il lato PB che il lato PC con il teorema di Carnot imponendo l'angolo PAB = x.
Sono arrivato a questa relazione:
$ 5/4 - cos x = k^2(5/4 -1/2 *cos x+sqrt(3)/2 *sin x ) $
E' corretta? Non crdo visto che il risultato non mi viene...
Dato il triangolo equilatero ABC di lato a, condurre con centro in A la circonferenza di raggio a/2 che interseca il lato AB in M e il lato AC in N. Determinare sull'arco MN interno al triangolo un punto P in modo che risulti :
$ bar(PB)=k*bar(PC) $
Io ho incominciato cercando sia il lato PB che il lato PC con il teorema di Carnot imponendo l'angolo PAB = x.
Sono arrivato a questa relazione:
$ 5/4 - cos x = k^2(5/4 -1/2 *cos x+sqrt(3)/2 *sin x ) $
E' corretta? Non crdo visto che il risultato non mi viene...
Risposte
in base a quello che hai detto, forse nel testo c'è PB al posto di AP ...
comunque, se vuoi che ti controlliamo gli eventuali errori, dovresti postare i passaggi ...
comunque, se vuoi che ti controlliamo gli eventuali errori, dovresti postare i passaggi ...
Si è PB ho corretto...
Allora:
$ bar(PB)^2 = 5/4 * a^2 - a^2 cos x $ [ho usato carnot]
$ bar(PC)^2 = 5/4 * a^2 - a^2 cos (pi/3-x) $ [sempre carnot]
facendo al quadrato la relazione iniziale: $ bar(PB)^2=k^2*bar(PC)^2 $
sostituisco tutto: $ 5/4 - cos x = k^2(5/4 -1/2 *cos x+sqrt(3)/2 *sin x ) $
Semplificando arrivo a: $ cos x * (1-k^2/2)+ sqrt(3)/2 * k^2 sin x +5/4 (k^2-1) = 0 $
Sostiruisco sin x = y e cos x = x e metto a sistema con l'equazione della circonferenza unitaria:
$ { ( x * (1-k^2/2)+ sqrt(3)/2 * k^2 y +5/4 (k^2-1) = 0 ),( x^2+y^2 =1 ):} $
Ho sbagliato qualcosa fin qui?
Allora:
$ bar(PB)^2 = 5/4 * a^2 - a^2 cos x $ [ho usato carnot]
$ bar(PC)^2 = 5/4 * a^2 - a^2 cos (pi/3-x) $ [sempre carnot]
facendo al quadrato la relazione iniziale: $ bar(PB)^2=k^2*bar(PC)^2 $
sostituisco tutto: $ 5/4 - cos x = k^2(5/4 -1/2 *cos x+sqrt(3)/2 *sin x ) $
Semplificando arrivo a: $ cos x * (1-k^2/2)+ sqrt(3)/2 * k^2 sin x +5/4 (k^2-1) = 0 $
Sostiruisco sin x = y e cos x = x e metto a sistema con l'equazione della circonferenza unitaria:
$ { ( x * (1-k^2/2)+ sqrt(3)/2 * k^2 y +5/4 (k^2-1) = 0 ),( x^2+y^2 =1 ):} $
Ho sbagliato qualcosa fin qui?
"volcom88":
Si è PB ho corretto...
Allora:
$ bar(PB)^2 = 5/4 * a^2 - a^2 cos x $ [ho usato carnot]
$ bar(PC)^2 = 5/4 * a^2 - a^2 cos (pi/3-x) $ [sempre carnot]
facendo al quadrato la relazione iniziale: $ bar(PB)^2=k^2*bar(PC)^2 $
sostituisco tutto: $ 5/4 - cos x = k^2(5/4 -1/2 *cos x+sqrt(3)/2 *sin x ) $
in questo passaggio c'è un errore di segno ($cos(alpha-beta)=cos alpha cos beta + sin alpha sin beta$, per cui con il meno "davanti" i due termini sono entrambi "negativi":
$ 5/4 - cos x = k^2(5/4 -1/2 *cos x - sqrt(3)/2 *sin x ) $
Semplificando arrivo a: $ cos x * (1-k^2/2)+ sqrt(3)/2 * k^2 sin x +5/4 (k^2-1) = 0 $ di conseguenza:
$ cos x * (1-k^2/2) - sqrt(3)/2 * k^2 sin x +5/4 (k^2-1) = 0 $
Sostiruisco sin x = y e cos x = x e metto a sistema con l'equazione della circonferenza unitaria:
[meglio non riusare la stessa incognita (x) per dire un'altra cosa: di solito si usano le maiuscole]. intanto ricorreggo il segno:
$ { ( x * (1-k^2/2) - sqrt(3)/2 * k^2 y +5/4 (k^2-1) = 0 ),( x^2+y^2 =1 ):} $
Ho sbagliato qualcosa fin qui?
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