Problema triangoli rettangoli

[Themirhaccio]

Testo del problema

In un cerchio di centro O è data una corda AB tale che il coseno dell'angolo AOB = 3/5. Determinare sul segmento OB un punto P tale che risulti

$ (BM+BP) / (BM) = k $

essendo M il punto di incontro della semiretta AP con la semiretta tangente in B alla circonferenza, situata rispetto ad AB dalla stessa parte del centro O

Io ho fatto così:

http://imageshack.us/photo/my-images/81 ... emalo.jpg/

vorrei sapere come si scrivono le relazioni di BM e BP (non tutta la discussione del problema, quella la faccio da me). Credo che l'esercizio vada svolto assumendo come incognita l'angolo che sottende il segmento OP, ma non riesco poi ad arrivare a scrivere le relazioni di BM e BP.

Grazie in anticipo

[giammaria2]

Posto $AhatOB=2alpha$, comincia a calcolare seno e coseno di $alpha$, nonché $AB$. Detto poi N un qualsiasi punto sul prolungamento di MB oltre B, noti che $AhatBN$ insiste sull'arco AB e quindi è la metà di $AhatOB$, cioè $alpha$.
Posto poi $BhatAM=x$, col teorema dei seni applicato a BMA trovi BM; con lo stesso teorema applicato a BAP trovi BP.
Non ho fatto i calcoli, ma non dovrebbero essere difficili.

Una raccomandazione per la prossima volta: meglio evitare il rimando a figure poste altrove perché col passare del tempo queste possono essere cancellate. Se non sai come disegnarle qui, limitati a scrivere chiaramente l'enunciato (e lo avevi fatto).

[Themirhaccio]

Grazie Giammaria, ho dato una controllata scrivendo le relazioni che mi hai consigliato tu e credo che sia tutto risolto. Il problema è che il quesito è inserito in un capitolo dove non è ancora stato affrontato il teorema dei seni. Da ieri sera mi sono scervellato ed alla fine ho notato questa cosa (utile se qualcuno avrà dei problemi come me). Visto che sia a numeratore che a denominatore della relazione indicata compaiono oggetti dipendenti da PM, io posso scrivere PB e BM in funzione del seno e coseno dell'angolo PMB = x e di PM tanto poi PM si elide comparendo sia a numeratore e denominatore. Adesso provo a seguire questa strada poi magari uso la tua.

PS: detto H il punto proiezione ortogonale di A su OB io ho che HAP = AMB quindi riesco a scrivere le limitazioni per x. Vediamo.

Grazie ancora!

[giammaria2]

La tua idea è ottima e migliore della mia ma da sola non basta a stabilire dov'è il punto P (e la domanda era questa). Con le considerazioni che hai fatto nel PS si hanno però dei triangoli rettangoli che permettono di trovarlo, quindi non ci sono vere critiche.