Problema Triangoli

[kika_17]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:

"L'area di un triangolo equilatero è $64 sqrt3$. Prolunga ogni lato, nello stesso verso, di un segmento congruente alla quarta parte del lato stesso; congiungi gli estremi di tali segmenti e determina perimetro e area di esso".

Posso usare solo teoremi di similitudine, pitagora ed euclide.

Qualcuno può aiutarmi per favore?

Dato che è un triangolo equilatero so che ha tutti i lati e angoli uguali quindi dall'area ricavo il lato: $AB=BC=AC=16$ e altezza $BH= sqrt3 /2 AB =8 sqrt3$. Inoltre il segmento di prolungamento $AD=BE=CF=4$.

So che il triangolo esterno costruito dal testo è equilatero, ma non riesco a trovare il lato di esso. Che teorema devo usare?

Grazie

[donald_zeka]

Prolungando i lati si vengono a creare 3 nuovi triangolini accanto al triangolo equilatero originale. Questi triangolini hanno la stessa altezza del triangolo originale e la base un quarto dell'originale. La loro area è dunque un quarto di quella del triangolo originale. L'are del nuovo triangolo è dunque $A+3/4A$ dove $A$ è l'area del triangolo equilatero originale. L'area del triangolo nuovo è dunque $7/4A$. Il rapporto quindi tra l'are del nuovo e l'area del vecchio è $7/4$...da qui puoi dedurre quale sarà il rapporto tra i perimetri ricordando che se due figure simili hanno i lati in rapporto $k$, i loro perimetri stanno in rapporto $k$ e le loro aree in rapporto $k^2$.