Problema trapezio isoscele
Circoscrivere ad una semicirconferenza di raggio noto $r $, e centro $O $, un trapezio isoscele di area nota $s^2$.
Sfruttando cone nel precedente problema sempre le solite proprietà , ed indicato con $x $ la meta' della base maggiore, e con $x-sqrt (x^2-r^2) $, la meta' della base minore, impostato la seguente equazione nell' incognita $x$, avremo $(x+x-sqrt(x^2-r^2))×r=s^2$, e sviluppando arrivo alla seguente identita:
$2xr-s^2=r×sqrt(x^2-r^2) $, elevando ambo i membri al quadrato ottengo ancora:
$3r^2 (x^2)-4rs^2 (x)-s^4+r^4$ da cui calcolando il $Delta$ avro':
$Delta=16r^2s^4-12r^2s^4-12r^6=4r^2 (s^2)^2-12r^6$, affinché abbia soluzioni reali
pongo $Delta>=0$, e questo avviene risolvendo rispetto a $s^2$,
per $s^2>=r^2sqrt(3)$, dovendo le soluzioni soddisfare alla condizione $x_1=(4rs^2-Delta)/(6r^2)>=r $, ed $x_2=(4rs^2+Delta)/(6r^2)>=r $, osserviamo che $x_2$ soddisfa la condizione per ogni valore $s^2>=r^2sqrt (3)$ mentre la soluzione $x_1$, soddisfa la condizione per $r^2sqrt(3)<=s^2 <=2r^2$, quindi in definitiva avremo due soluzioni per $r^2sqrt (3)<=s^2<=2r^2$, ed una soluzione per $s^2>2r^2$, inoltre
Nel caso $s^2=2r^2$, si ha $x_1=r$, e quindi la situazione limite in cui la figura risulta essere un rettangolo circoscritto.
Può qualcuno controllare se lo svolgimento del problema e' corretto?
Grazie!
Sfruttando cone nel precedente problema sempre le solite proprietà , ed indicato con $x $ la meta' della base maggiore, e con $x-sqrt (x^2-r^2) $, la meta' della base minore, impostato la seguente equazione nell' incognita $x$, avremo $(x+x-sqrt(x^2-r^2))×r=s^2$, e sviluppando arrivo alla seguente identita:
$2xr-s^2=r×sqrt(x^2-r^2) $, elevando ambo i membri al quadrato ottengo ancora:
$3r^2 (x^2)-4rs^2 (x)-s^4+r^4$ da cui calcolando il $Delta$ avro':
$Delta=16r^2s^4-12r^2s^4-12r^6=4r^2 (s^2)^2-12r^6$, affinché abbia soluzioni reali
pongo $Delta>=0$, e questo avviene risolvendo rispetto a $s^2$,
per $s^2>=r^2sqrt(3)$, dovendo le soluzioni soddisfare alla condizione $x_1=(4rs^2-Delta)/(6r^2)>=r $, ed $x_2=(4rs^2+Delta)/(6r^2)>=r $, osserviamo che $x_2$ soddisfa la condizione per ogni valore $s^2>=r^2sqrt (3)$ mentre la soluzione $x_1$, soddisfa la condizione per $r^2sqrt(3)<=s^2 <=2r^2$, quindi in definitiva avremo due soluzioni per $r^2sqrt (3)<=s^2<=2r^2$, ed una soluzione per $s^2>2r^2$, inoltre
Nel caso $s^2=2r^2$, si ha $x_1=r$, e quindi la situazione limite in cui la figura risulta essere un rettangolo circoscritto.
Può qualcuno controllare se lo svolgimento del problema e' corretto?
Grazie!
Risposte
Qualcuno può ' controllare se lo svolgimento e' corretto ?
Grazie!
Grazie!
L'equazione da studiare è:
$3r^2x^2-4xrs^2+s^4+r^4=0$ (hai sbagliato un segno)
Il delta che hai trovato è comunque corretto.
Andando alla discussione delle soluzioni:
$4rs^2-(4r^2s^4-12r^6)>=6r^3$
$4rs^2-4r^2s^4+12r^6-6r^3>=0$
Mi spieghi come hai fatto a risolverla?
$3r^2x^2-4xrs^2+s^4+r^4=0$ (hai sbagliato un segno)
Il delta che hai trovato è comunque corretto.
Andando alla discussione delle soluzioni:
$4rs^2-(4r^2s^4-12r^6)>=6r^3$
$4rs^2-4r^2s^4+12r^6-6r^3>=0$
Mi spieghi come hai fatto a risolverla?
Ho dimenticato di mettere la radice , quindi le soluzioni sono
$x_i=(4rs^2(+/-)sqrt(4r^2s^4-12r^6))/(6r^2)$, detto questo cerco di risolvere la disequazione come mi hai suggerito.
La disequazione da risolvere diventa $(4rs^2-sqrt(4r^2s^4r^6))/(6r^2)>=r $ che diventa
$4rs^2-sqrt (4r^2s^4-12r^6)>=6r^3$
$4rs^2-6r^3>=sqrt(4r^2s^4-12r^6) $,
Elevando ambo i membri al quadrato ottengo:
$16r^2s^4-48r^4s^2+36r^6>=4r^2s^4-12r^6$
Trasportando tutto al primo membro si ha:
$12r^2s^4-48r^4s^2+48r^6>=0$
Mettendo il fattore $12$ in evidenza si ha
$(12)×(r^2s^4-4r^4s^2+4r^6)>=0$
A questo punto noto che in parentesi ho un quadrato perfetto
$(12)×(rs^2-2r^3)^2>=0$, la disequazione diventa:
$rs^2>=2r^3$ da cui ricavo $s^2>=(2r^3)/r $ e $s^2>=2r^2$
Quindi deduco che abbiamo due soluzioni per $r^2sqrt(3)<=s^2 <=2r^2$; ed una soluzione ovviamente per $s^2>2r^2$;
E' corretto?
$x_i=(4rs^2(+/-)sqrt(4r^2s^4-12r^6))/(6r^2)$, detto questo cerco di risolvere la disequazione come mi hai suggerito.
La disequazione da risolvere diventa $(4rs^2-sqrt(4r^2s^4r^6))/(6r^2)>=r $ che diventa
$4rs^2-sqrt (4r^2s^4-12r^6)>=6r^3$
$4rs^2-6r^3>=sqrt(4r^2s^4-12r^6) $,
Elevando ambo i membri al quadrato ottengo:
$16r^2s^4-48r^4s^2+36r^6>=4r^2s^4-12r^6$
Trasportando tutto al primo membro si ha:
$12r^2s^4-48r^4s^2+48r^6>=0$
Mettendo il fattore $12$ in evidenza si ha
$(12)×(r^2s^4-4r^4s^2+4r^6)>=0$
A questo punto noto che in parentesi ho un quadrato perfetto
$(12)×(rs^2-2r^3)^2>=0$, la disequazione diventa:
$rs^2>=2r^3$ da cui ricavo $s^2>=(2r^3)/r $ e $s^2>=2r^2$
Quindi deduco che abbiamo due soluzioni per $r^2sqrt(3)<=s^2 <=2r^2$; ed una soluzione ovviamente per $s^2>2r^2$;
E' corretto?
$12(rs^2-2r^3)^2>=0$ è sempre vera dato che un quadrato è sempre positivo o uguale a $0$.
Quindi se $x_1>=r$ è sempre vera allora lo è anche $x_2>=r$ dato che $x_2>=x_1$...in pratica come nell'altro problema non hai valutato una condizione ulteriore.
D'accordo, ma però lo svolgimento della disequazione e' corretto?☺
Lo svolgimento fino al quadrato perfetto è corretto.
Sì hai ragione , non so perche' ma mi lascio influenzare dai risultati che fornisce il testo, che pero' a questo punto risulterebbero ancora errati, in quanto la soluzione $x_1$, sarebbe conveniente comunque sia $r^2sqrt (3)<=s^2$, contrariamente alla soluzione del testo che pone la restrizione
$r^2sqrt (3)<=s^2 <=2r^2$, quindi le due soluzioni risultano convenienti per $s^2>=r^2sqrt (3)$ mi sbaglio?
$r^2sqrt (3)<=s^2 <=2r^2$, quindi le due soluzioni risultano convenienti per $s^2>=r^2sqrt (3)$ mi sbaglio?
Probabilmente, come nell'altro problema, hai dimenticato una ulteriore condizione. Ricordati che se hai $a=sqrt(b)$ e vuoi elevare entrambi al quadrato, oltre a imporre $b>=0$, devi imporre anche $a>=0$...riguarda il tuo procedimento dall'inizio e vedi dove hai saltato una condizione.
Ripensandoci, riguardo alle disequazioni, se ho una disequazione con $a>0$, del tipo quadrato di un binomio $(x+a)^2=(x+a)×(x+a) >=0$, essendo che il quadrato del fattore lineare $(x+a) $ e' sempre positivo, la disequazione e' soddisfatta sia per $x <=a$, che per $x>=a$, ritornando al caso del problema $r^2×(s^2-2r^2)^2>=0$ risulta altresì soddisfatta sia per $s^2>=2r^2$, che per $s^2<=2r$, anche così
pero' avrei due soluzioni accettabili comunque sia $s^2>=r^2sqrt(3)$, in contraddizione con il risultato del testo;
Uhm
Potete aiutarmi a chiarire questo dilemma
pero' avrei due soluzioni accettabili comunque sia $s^2>=r^2sqrt(3)$, in contraddizione con il risultato del testo;
Uhm
Potete aiutarmi a chiarire questo dilemma
Infatti come nell'altro problema hai dimenticato una condizione ulteriore. Ripeto: se $a=sqrt(b)$ allora $a>=0$ e $b>=0$, tu hai applicato solo $b>=0$...
E quindi il risultato del testo risulterebbe errato?
No, sei tu che hai dimenticato di applicare una ulteriore condizione.
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