Problema sull’ellisse

[Hamail2121]

Data l’ellisse di equazione (x^2)/16 + (y^2)/4 = 1, determina i vertici dei rettangoli inscritti di area 8*(la radice di 3).
[ Soluzione: Ci sono due rettangoli inscritti di area 8*(la radice di 3): uno di vertici: [2*(radice di 3), 1]; [-2 *(radice di 3), 1]; [-2 *(radice di 3), -1]; [2 *(radice di 3), -1] e l’altro di vertici: [2, (radice di 3)]; [-2, (radice di 3)]; [-2, -(radice di 3)]; [2, -(radice di 3)]. ]
Scusate sto utilizzando questa piattaforma per la prima volta e quindi non so come scrivere per bene...

[gugo82]

Idee tue?
Cosa hai provato a fare?

[Hamail2121]

Ci ho pensato ma non capisco cosa fare... Abbiamo appena iniziato le ellissi e il mio professore ci ha fatto fare solo un problema come questo e in quello la figura inscritta era un quadrato e qua sono due rettangoli. Non so come fare per risolverlo ecco perché ve lo chiedo, di solito riesco a fare i problemi da solo grazie agli esempi ma questa volta non ho trovato un esempio sul libro.

[gugo82]

Innanzitutto, disegna.
Com'è fatta l'ellisse $mathcal(E)$ di equazione $x^2/16 + y^2/4 = 1$?

Poi, comincia a ragionare.
Pprendi un punto a casaccio $P$ su $mathcal(E)$ e cerca di disegnare un rettangolo con vertice in $P$ inscritto in $mathcal(E)$: come sono messi gli altri tre vertici? Com'è messo il centro del rettangolo?

[@melia]

Prendi un punto $P(x;y)$ sul primo quadrante (con $x>=0, y>=0$ che stia sull'ellisse. Qual è la sua distanza dagli assi cartesiani? E quale quella degli altri vertici del rettangolo inscritto nell'ellisse? Scrivi adesso il perimetro del rettangolo usando le coordinate di P e mettilo a sistema con l'equazione dell'ellisse.

[gugo82]

"gugo82":Innanzitutto, disegna.
Com'è fatta l'ellisse $mathcal(E)$ di equazione $x^2/16 + y^2/4 = 1$?

L’ellisse $mathcal(E)$ ha centro in $O=(0,0)$ e semiassi lungo gli assi cartesiani di lunghezze $a=4$ e $b=2$.
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
ellipse([0,0],4,2);[/asvg]
Qui viene il difficile (forse questo non è proprio il problema migliore per iniziare…).

"gugo82":Poi, comincia a ragionare.
Prendi un punto a casaccio $P$ su $mathcal(E)$ e cerca di disegnare un rettangolo con vertice in $P$ inscritto in $mathcal(E)$: come sono messi gli altri tre vertici? Com'è messo il centro del rettangolo?

Prendiamo un punto a caso su $mathcal(E)$, diciamo nell’arco che cade nel primo quadrante, e proviamo a trovare i vertici di un rettangolo inscritto in $mathcal(E)$ con un vertice in $P$: da $P$ tracciamo due rette perpendicolari che intersecano $mathcal(E)$ in $Q$ ed in $R$ (oltre che in $P$):
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
ellipse([0,0],4,2);
stroke="black";
var P=[2,1.732]; var Q=[2.93, -1.36]; var R=[-4,0];
line(P,Q); line(P,R);
dot(P); text(P,"P",aboveright);
dot(Q); text(Q, "Q", belowright);
dot(R); text(R, "R", aboveleft);[/asvg]
il quarto vertice $S$ del rettangolo $PQSR$ deve essere il simmetrico di $P$ rispetto al punto medio $M$ di $QR$:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
ellipse([0,0],4,2);
var P=[2,1.732]; var Q=[2.93, -1.36]; var R=[-4,0]; var M = [-0.53, -0.71]; var S =[-3.07, -3.16];
stroke="grey";
line(Q,R); line(P,S);
stroke="black";
line(P,Q); line(P,R); line(Q,S); line(R,S);
dot(P); text(P,"P",aboveright);
dot(Q); text(Q, "Q", belowright);
dot(R); text(R, "R", aboveleft);
dot(S); text(S, "S", belowleft);
stroke="blue";dot(M); text(M,"M", above);[/asvg]
Il vertice $S$ cade su $mathcal(E)$ solo se $M=O$, ossia se il centro del rettangolo coincide col centro dell’ellisse; ciò accade solo se i lati del rettangolo sono paralleli agli assi cartesiani, ossia se il rettangolo è del tipo in figura qui sotto:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
ellipse([0,0],4,2);
stroke="black";
var P=[2,1.732]; var Q=[2,-1.732]; var R=[-2,1.732]; var S=[-2, -1.732];
line(P,Q); line(P,R); line(Q,S); line(R,S);
dot(P); text(P,"P",aboveright);
dot(S); text(S,"S",belowleft);
dot(Q); text(Q, "Q", belowright);
dot(R); text(R, "R", aboveleft);[/asvg]
L’area del rettangolo $PQSR$ è data dal prodotto del doppio dell’ascissa e del doppio dell’ordinata di $P$, cioè:

$text(area)(PQSR) = 4x_P*y_P$;

d’altra parte, ogni rettangolo inscritto in $mathcal(E)$ ha un vertice $P$ nel primo quadrante, quindi la formula precedente vale in generale.
Se consideriamo $0<= x_P= x <= 4$ come variabile, allora $y_P = 1/2 sqrt(16 - x^2)$, sicché:

$text(area)(PQSR) = 4x*1/2 sqrt(16 - x^2)=2x*sqrt(16-x^2)$

cosicché il tuo problema si riscrive come un’equazione irrazionale in $x$.

[@melia]

Io preferisco evitare l'equazione irrazionale e lavorare con il sistema di equazioni
$\{(x^2/16 + y^2/4 = 1),(4x y = 8sqrt3):}$

[gugo82]

"@melia":Io preferisco evitare l'equazione irrazionale e lavorare con il sistema di equazioni
$\{(x^2/16 + y^2/4 = 1),(4x y = 8sqrt3):}$

Sì, certo, @melia. Anzi, il sistema è pure meglio.

Ma il ragionamento geometrico che c'è dietro mi sembra non proprio banale... O no?

[@melia]

Solo l'appunto sulla parte algebrica. Il resto non fa una piega.

[gugo82]

"@melia":Solo l'appunto sulla parte algebrica. Il resto non fa una piega.

Sì, lo so... Intendevo: non mi sembra un ragionamento banale per un problema d'ingresso sull'argomento.