Problema sull'ellisse!
Trovare l'equazione dell'ellisse riferita agli assi, inscritta nel triangolo di vertici A(-4;-2), B(0;4), C(4;-2) ed il rapporto tra l'area del triangolo dato e l'area del trapezio avente per vertici i punti di contatto dell'ellisse con i lati del triangolo, simmetrici rispetto all'asse delle y, ed i fuochi dell'ellisse.
Risultato 3x^2+4y^2=16; 6(3-sqrt(3))
Sono riuscita ad arrivare al primo risultato, ma per il secondo no.
Risultato 3x^2+4y^2=16; 6(3-sqrt(3))
Sono riuscita ad arrivare al primo risultato, ma per il secondo no.
Risposte
Ti do il benvenuto nel forum ma nel problema c'è qualcosa che non va: quando si parla di punti di contatto si pensa alla tangenza, ed i lati del triangolo non sono tangenti all'ellisse. Ho interpretato quella frase intendendo che il trapezio abbia due vertici in $A,C$ (simmetrici rispetto all'asse $y$) ma ottengo un risultato diverso; otterrei quel risultato solo se gli altri due vertici del trapezio coincidessero con i vertici dell'ellisse posti sull'asse $x$.
Un consiglio per la scrittura: metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule perché così facendo la tua 3x^2+4y^2=16 appare come $3x^2+4y^2=16$
Un consiglio per la scrittura: metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule perché così facendo la tua 3x^2+4y^2=16 appare come $3x^2+4y^2=16$
Mi sembra che i fuochi siano $F_(1, 2)(+-2/sqrt(3),0)$ e i punti di tangenza cercati $T_(1, 2)(+-2,1)$.
Per cui l'area del trapezio è $S_text(trapezio)=2/sqrt(3)(sqrt(3)+1)$.
Poiché l'area del triangolo era $S_text(triangolo)=24$, il rapporto è appunto $S_text(triangolo)/S_text(trapezio)= 6(3-sqrt(3))$.
Per cui l'area del trapezio è $S_text(trapezio)=2/sqrt(3)(sqrt(3)+1)$.
Poiché l'area del triangolo era $S_text(triangolo)=24$, il rapporto è appunto $S_text(triangolo)/S_text(trapezio)= 6(3-sqrt(3))$.
chiaraotta con i fuochi mi sono trovata, anche con l'area del triangolo.
i dati che mi mancano infatti sono esattamente i punti di tangenza. Mi potresti spiegare il procedimento di questa piccola parte del problema? Per il resto mi è tutto chiaro
i dati che mi mancano infatti sono esattamente i punti di tangenza. Mi potresti spiegare il procedimento di questa piccola parte del problema? Per il resto mi è tutto chiaro
Il lato $BC$ del triangolo ha equazione $y=-3/2 x +4$ e l'ellisse $x^2/(16/3)+y^2/4=1$.
Facendo sistema fra queste equazioni arrivo a $x^2-4x+4=0->(x-2)^2=0->x=2, y=1$. Questo è il punto di tangenza tra l'ellisse e il lato $BC$. L'altro punto di tangenza per simmetria è $(-2, 1)$.
Facendo sistema fra queste equazioni arrivo a $x^2-4x+4=0->(x-2)^2=0->x=2, y=1$. Questo è il punto di tangenza tra l'ellisse e il lato $BC$. L'altro punto di tangenza per simmetria è $(-2, 1)$.
Grazie mille, davvero!
Ho un dubbio( l'ultimo) il risultato del rapporto tra le aree come fa a venire con il meno? A me viene cosi 6(√3+1)
Ho un dubbio( l'ultimo) il risultato del rapporto tra le aree come fa a venire con il meno? A me viene cosi 6(√3+1)
$S_text(triangolo)/S_text(trapezio)=24/(2/sqrt(3)(sqrt(3)+1))=(12sqrt(3))/(sqrt(3)+1)=$
$(12sqrt(3)(sqrt(3)-1))/((sqrt(3)+1)(sqrt(3)-1))=(12(3-sqrt(3)))/(3-1)=6(3-sqrt(3))$.
$(12sqrt(3)(sqrt(3)-1))/((sqrt(3)+1)(sqrt(3)-1))=(12(3-sqrt(3)))/(3-1)=6(3-sqrt(3))$.
Domando scusa; avevo letto male il testo e chiaraotta ha ragione. Io avevo inteso che l'ellisse fosse circoscritta ad $ABC$ ed avevo accettato la sua equazione senza controlli.
io non mi trovo..
ti posto tutto il mio procedimento
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... ae92d2cb35
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... 23f949e949
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... 8384552093
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... 5a49768d4d
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... b93fd40421
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... 2f6cdc0cb2
a questo punto quando vado a sostituire la x (2) non mi viene 1..
magari mi posti le foto del tuo procedimento e facciamo prima.
ti posto tutto il mio procedimento
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a questo punto quando vado a sostituire la x (2) non mi viene 1..
magari mi posti le foto del tuo procedimento e facciamo prima.
Se il punto $T_1$ ha ascissa $x_(T_1)=2$ e appartiene alla retta $BC$ di equazione $y=-3/2x+4$, allora $y_(T_1)=-3/2*x_(T_1)+4=-3/2*2+4=-3+4=1$.
Comunque l'equazione $(x-2)^2=0$ non ha soluzioni $x=+-2$, come mi sembra di leggere nei tuoi appunti, ma solo $x=+2$, che è una soluzione doppia.
Comunque l'equazione $(x-2)^2=0$ non ha soluzioni $x=+-2$, come mi sembra di leggere nei tuoi appunti, ma solo $x=+2$, che è una soluzione doppia.
Mi trovo!
Non per con l'area del trapezio.
La distanza tra i due fuochi mi viene $ 4/3$ $sqrt(3) $ (2c)
e la distanza tra le i punti $ T_1 $ $ T_2 $ è uguale a 4
l'altezza è 2
applicando la formula dell'area del trapezio mi viene 4/√3(√3+1) (quattro diviso radice di tre per radice di tre più uno)
Non per con l'area del trapezio.
La distanza tra i due fuochi mi viene $ 4/3$ $sqrt(3) $ (2c)
e la distanza tra le i punti $ T_1 $ $ T_2 $ è uguale a 4
l'altezza è 2
applicando la formula dell'area del trapezio mi viene 4/√3(√3+1) (quattro diviso radice di tre per radice di tre più uno)
mi sono trovata in tutto, grazie mille per la disponibilità e la pazienza!
"aletessi97":
.....
l'altezza è 2
....
L'altezza è l'ordinata di $T_1$ e cioè $1$. Quindi l'area del trapezio è
$S_text(trapezio)=(4+4/3sqrt(3))*1/2=4(1+1/sqrt(3))*1/2=2/sqrt(3)(sqrt(3)+1)$
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