Problema sulle trasformazioni geometriche
Sia \(\displaystyle \gamma1 \) la parabola di equazione \(\displaystyle y=x^2 -x \) e \(\displaystyle \gamma2 \) la simmetrica di \(\displaystyle \gamma1 \) rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Siano O(0;0) e A i punti di intersezione di \(\displaystyle \gamma1 \) e \(\displaystyle \gamma2 \). Determinare un punto P sull'arco OA di \(\displaystyle \gamma1 \) e un punto Q sull'arco OA di \(\displaystyle \gamma2 \) in modo che PQ sia perpendicolare ad OA e misuri \(\displaystyle 3*rad2/4 \)
il risultato è: [Due soluzioni cui corrispondono i punti P di ascissa 1/2 o 3/2]
la soluzione non mi esce....io ho proceduto così
il vertice di \(\displaystyle \gamma1 \) è V1(1/2; -1/4)
la parabola simmetrica è \(\displaystyle x=y^2 - y \) e il vertice V2 è (-1/4;1/2)
le intersezioni, mettendo a sistema le due parabole, sono O(0;0) e A (2;2).
a P ho dato le coordinate \(\displaystyle (k; k^2-k) \)
la retta OA corrisponde alla retta y=x...PQ, per essere perpendicolare deve avere coefficiente angolare -1
quindi \(\displaystyle y-(k^2-k)=-(x-k) \) -----> \(\displaystyle y=-x+k^2 \)
mettendo a sistema questa retta con \(\displaystyle x=y^2 - y \) ottengo
\(\displaystyle x1=k^2+k \) y1=k
\(\displaystyle x2=k^2 -k \) y2=-k
che sono le coordinate di Q.
se poi faccio che la distanza PQ deve essere uguale a 3 rad2/4....non mi esce niente. dove ho sbagliato?
grazie
scusate per la mia scrittura non perfetta
il risultato è: [Due soluzioni cui corrispondono i punti P di ascissa 1/2 o 3/2]
la soluzione non mi esce....io ho proceduto così
il vertice di \(\displaystyle \gamma1 \) è V1(1/2; -1/4)
la parabola simmetrica è \(\displaystyle x=y^2 - y \) e il vertice V2 è (-1/4;1/2)
le intersezioni, mettendo a sistema le due parabole, sono O(0;0) e A (2;2).
a P ho dato le coordinate \(\displaystyle (k; k^2-k) \)
la retta OA corrisponde alla retta y=x...PQ, per essere perpendicolare deve avere coefficiente angolare -1
quindi \(\displaystyle y-(k^2-k)=-(x-k) \) -----> \(\displaystyle y=-x+k^2 \)
mettendo a sistema questa retta con \(\displaystyle x=y^2 - y \) ottengo
\(\displaystyle x1=k^2+k \) y1=k
\(\displaystyle x2=k^2 -k \) y2=-k
che sono le coordinate di Q.
se poi faccio che la distanza PQ deve essere uguale a 3 rad2/4....non mi esce niente. dove ho sbagliato?
grazie
scusate per la mia scrittura non perfetta
Risposte
Per questa volta ti scuso, ma penso che dopo 56 messaggi la scrittura dovrebbe essere perfetta o quasi. Ti do un aiuto: $gamma_1$ si scrive gamma_1 e $(3 sqrt 2)/4$ si scrive (3 sqrt 2)/4.
Per quanto riguarda il problema, hai confuso lo soluzioni finali: le intersezioni sono $Q_1(k^2-k,k)$ e $Q_2(k^2+k,-k)$. Potevi anche non fare calcoli: Q è il simmetrico di P rispetto alla bisettrice e quindi è quello che ho chiamato $Q_1$.
Per quanto riguarda il problema, hai confuso lo soluzioni finali: le intersezioni sono $Q_1(k^2-k,k)$ e $Q_2(k^2+k,-k)$. Potevi anche non fare calcoli: Q è il simmetrico di P rispetto alla bisettrice e quindi è quello che ho chiamato $Q_1$.
non capisco il mio errore, potresti spiegarmelo meglio?
Tu scrivi ${(x_1=k^2+k),( y_1=k):}$ e ${(x_2=k^2-k),( y_2=-k):}$,
mentre la soluzione giusta è ${(x_1=k^2-k),( y_1=k):}$ e ${(x_2=k^2+k),( y_2=-k):}$
In altre parole, hai scambiato fra loro gli indici o di $x$ o di $y$.
mentre la soluzione giusta è ${(x_1=k^2-k),( y_1=k):}$ e ${(x_2=k^2+k),( y_2=-k):}$
In altre parole, hai scambiato fra loro gli indici o di $x$ o di $y$.
"giammaria":
Tu scrivi ${(x_1=k^2+k),( y_1=k):}$ e ${(x_2=k^2-k),( y_2=-k):}$,
mentre la soluzione giusta è ${(x_1=k^2-k),( y_1=k):}$ e ${(x_2=k^2+k),( y_2=-k):}$
In altre parole, hai scambiato fra loro gli indici o di $x$ o di $y$.
si, ma PQ deve essere perpendicolare alla retta OA...per avere le coordinate di Q bisogna mettere a sistema la retta y=-x+k^2 (retta PQ) con la parabola $ gamma_1 $ \(\displaystyle x=y^2-y \)
${(y=-x+k^2),( x=y^2-y):}$
${(y=-x+k^2),( x=(-x+k^2)^2 -(-x+k^2)):}$
${(y=-x+k^2),( x=x^2+k^4-2k^2x+x-k^2):}$
${(y=-x+k^2),( x^2-2k^2x+k^4-k^2=0):}$
il Delta è $k^2$
e quindi $x_(1/2)$= $k^2\pm k$
ma $y_1=k$
$y_2=-k$
secondo il tuo metodo esce il risultato? quali sono i passaggi?
Io ho preferito ricavare $x$ dalla seconda e sostituirlo nella prima; i calcoli sono più facili. Ma seguiamo pure i tuoi:
- da $x_1=k^2+k$ ricavi $y_1=-k^2-k+k^2=-k$
- da $x_2=k^2-k$ ricavi $y_2=-k^2+k+k^2=k$
Come vedi, hai scambiato fra loro $y_1$ e $y_2$.
- da $x_1=k^2+k$ ricavi $y_1=-k^2-k+k^2=-k$
- da $x_2=k^2-k$ ricavi $y_2=-k^2+k+k^2=k$
Come vedi, hai scambiato fra loro $y_1$ e $y_2$.
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