Problema sulle progressioni

[eptossidodidicloro]

Salve! Ho il seguente problema : "Un uomo possiede inizialmente 100 euro e spende ogni giorno 1/10 di ciò che ha. Quanto denaro gli rimane dopo 10 giorni?" La soluzione è 34,86 euro. Ho risolto il quesito intuitivamente ovvero calcolando prima $1/10$ di $100$ eseguendo la sottrazione da cui primo giorno $ = 90 $, poi per il secondo giorno $1/10$ di $90$ procedendo analogamente ottenendo $81$ e così via arrivando al $10°$ giorno in cui la somma restante è $34,86$. Il mio problema sta nel considerare una possibile risoluzione attraverso le progressioni. In questo caso credo sia una progressione geometrica di ragione $q=1/10$... dovrei calcolare il termine $a_10$ e dunque usare la formula $a_k = a_s*q^(k-s)$ in questo caso $ a_10 = 90*(1/10)^9 $ ... ma il risultato è di difficile comprensione... Suggerimenti?

[axpgn]

Ma la ragione non è $1/10$ ma $9/10$...
... e poi perchè usi 90 come primo termine? va bene lo stesso perchè usi un periodo in meno, ma così ti devi calcolare il primo termine ...
Cordialmente, Alex

[minomic]

Ciao, la ragione non è $1/10$ ma $9/10$. Infatti $$a_i = \frac{9}{10}\cdot a_{i-1}$$ con $$a_1=100$$ Quindi $$a_{10} = 100\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{10} = 34,86$$

EDIT. Ops, risposta fotocopia. Comunque lascerò anche questa...

[axpgn]

@minomic

Beh, è decisamente più pulita ... e soprattutto chiara

Cordialmente, Alex

[eptossidodidicloro]

Chiedo scusa per la mia mente bradipa, come mai la ragione è $9/10$ e non $1/10$? Il tizio spende ogni giorno %1/10% di ciò che ha...... Non riesco a capire ...

[minomic]

Quindi ciò che gli resta è i $9/10$ di ciò che aveva.

[eptossidodidicloro]

Quindi se avesse chiesto di determinare il denaro speso allora la ragione sarebbe stata $1/10$?

[axpgn]

No.
Per ottenere la somma rimasta ogni giorno devi moltiplicare quella del giorno prima per $9/10$, mentre per calcolare il denaro speso devi SOMMARE gli importi giornalieri; vedi quindi che il problema va impostato diversamente nei due casi, non PUOI semplicemente scambiare le ragioni.

Cordialmente, Alex

[eptossidodidicloro]

Ringrazio entrambi per l'aiuto, siete stati gentilissimi!

[axpgn]

In pratica per calcolare il denaro speso l'espressione è la seguente:

$-q*[(1-r)^n-1]$ dove $q$ è la somma iniziale (nel nostro caso è 100), $r$ è la ragione (cioè 1/10) e $n$ il numero di giorni(cioè 10).

Prova e verifica.

Cordialmente, Alex

[eptossidodidicloro]

$-100*[(1-1/10)^10-1] = 65,14$ (arrotondato) che, sommato al denaro restante nel $10°$ giorno ossia $34,86$, mi dà $100$ quindi Alex è verificata la tua formula!