Problema sulle probabilità

[elisa8765]

Potete aiutarmi con questo problema?
In un'urna vi sono 8 palline rosse e 2 nere; in una seconda urna vi sono 4 palline rosse e 5 nere. Si estrae una pallina dalla prima urna e la si inserisce nella seconda, e da questa si estrae una pallina. Calcola la probabilità che essa sia rossa. Grazie in anticipo :dozingoff

[nRT]

Ciao,
cominciamo a pensare alle varie probabilità.
Studiamo le probabilità nei vari casi.
Probabilità di estrarre dalla prima urna una pallina rossa:

[math]P(r_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}[/math]

Probabilità di estrarre dalla prima urna una pallina nera:

[math]P(n_1) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}[/math]

Probabilità di estrarre una pallina rossa dalla seconda urna
- nel caso in cui abbiamo estratto una pallina rossa dalla prima:

[math]P(r_1|r_2) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}[/math]

- nel caso in cui abbiamo estratto una pallina nera dalla prima:

[math]P(n_1|r_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}[/math]

Ora il passaggio più complesso: calcoliamo la probabilità di estrarre la pallina rossa dalla seconda urna. Componiamo le probabilità dei due casi e poi le sommiamo. In pratica:

[math]
P(r_2) = P(r_1|r_2) \cdot P(r_1) + P(n_1|r_2) \cdot P(n_1) \\
P(r_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} \\
P(r_2) = \frac{12}{25}
[/math]

Spero di esserti stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure :)
Ciao