Problema sulle derivate
Ciao, devo risolvere il seguente problema:
Data nel piano Oxy la curva $\gamma$ di equazione $ y=1/x^2 $, sia P un punto della curva di ascissa t>0 e sia r la retta tangente a $\gamma$ nel punto P. Esprimi in funzione di t l'area S1 del triangolo OPA, essendo A l'intersezione di r con l'asse y.
Il risultato è S1=$3/(2t)$
Secondo il mio ragionamento, prima di tutto bisogna trovare l'equazione della retta r. Essendo tangente alla curva, il suo coefficiente angolare sarà uguale alla derivata prima della curva, ovvero $-2/x$. Al punto P ho dato coordinate $(t;1/t^2)$, essendo appartenente alla curva. L'equazione della retta generica $y-y0=m(x-x0)$ diventa quindi $y-1/t^2=-2/x(t-t)$. Ovviamente c'è un errore, perché risolvendo l'equazione risulta l'equazione della curva. Sapreste aiutarmi?
Data nel piano Oxy la curva $\gamma$ di equazione $ y=1/x^2 $, sia P un punto della curva di ascissa t>0 e sia r la retta tangente a $\gamma$ nel punto P. Esprimi in funzione di t l'area S1 del triangolo OPA, essendo A l'intersezione di r con l'asse y.
Il risultato è S1=$3/(2t)$
Secondo il mio ragionamento, prima di tutto bisogna trovare l'equazione della retta r. Essendo tangente alla curva, il suo coefficiente angolare sarà uguale alla derivata prima della curva, ovvero $-2/x$. Al punto P ho dato coordinate $(t;1/t^2)$, essendo appartenente alla curva. L'equazione della retta generica $y-y0=m(x-x0)$ diventa quindi $y-1/t^2=-2/x(t-t)$. Ovviamente c'è un errore, perché risolvendo l'equazione risulta l'equazione della curva. Sapreste aiutarmi?
Risposte
Il coeefficiente angolare della tangente è il valore della derivata calcolato nel punto di tangenza, quindi $f'(t)$, inoltre hai sbagliato la derivata, che è $f'(x)=(x^(-2))'=-2x^(-3)=-2/x^3$
L'equazione della tangente è $y-f(t) = f'(t) * (x-t)$ quindi $y-1/t^2=-2/t^3(x-t)$
L'equazione della tangente è $y-f(t) = f'(t) * (x-t)$ quindi $y-1/t^2=-2/t^3(x-t)$
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