Problema sulle circonferenze e sui luoghi

[pas9]

Problema:

Qual è il luogo dei centri delle circonferenze passanti per due punti dati?

Grazie

[ciampax]

Indichiamo i due punti con

[math](a_1,b_1),\ (a_2,b_2)[/math]

. Se

[math]x^2+y^2+Ax+By+C=0[/math]

è l'equazione generica di una circonferenza passante per tali punti, si osserva che

[math]a_1^2+b_1^2+Aa_1+B b_1+C=0\\ a_2^2+b_2^2+Aa_2+B b_2+C=0[/math]

Ricavando

[math]C[/math]

e uguagliando si ricava

[math]A(a_1-a_2)+B(b_1-b_2)+(a_1^2-a_2^2)+(b_1^2-b_2^2)=0[/math]

Dal momento che le coordinate del centro della circonferenza sono date da

[math](-A/2,-B/2)[/math]

, indicate tali coordinate con

[math]x,\ y[/math]

otteniamo l'equazione

[math]-2x(a_1-a_2)-2y(b_1-b_2)+(a_1^2-a_2^2)+(b_1^2-b_2^2)=0[/math]

o anche

[math]2x(a_1-a_2)+2y(b_1-b_2)-(a_1^2-a_2^2)+(b_1^2-b_2^2)=0[/math]

che è l'equazione di una retta.