Problema sulla Similitudine

[raffaele19651]

Buongiorno. Io e mia figlia che frequenta il secondo anno di liceo scientifico abbiamo eseguito una serie di problemi sulla similitudine con successo. Il libro di testo utilizzato è Nuova Matematica a colori GEOMETRIA 2 di Leonardo Sasso ( testo stupendo a mio avviso). Ci siamo imbattuti in un problema che non riusciamo ad impostare malgrado diversi tentativi.
Ecco il testo:

In un trapezio rettangolo ABCD, le diagonali AC e BD sono perpendicolari. Sapendo che l'altezza del trapezio è 6 cm e che la base maggiore AB è lunga 5 cm più della base minore CD, determina il primetro ddel trapezio. [(19 + sqrt61)].

Abbiamo chiamato x la base minore CD da cui AB = x + 5.
Ci siamo ricavati la diagonale BC del triangolo BCH che poi è anche uno dei 4 lati del trapezio (sqrt61).
Abbiamo pensato di mettere in relazione il trangolo ABC e e BCH ma non ci sembra la strada migliore.

Ci aiutate per favore, più che altro per capire come meglio impostare il problema.

Grazie.

Raffaele.

[kobeilprofeta]

Se le diagonali sono perpendicolari, io credo che il trapezio abbia una forma simile:
D________C
| | \
| | \
|_______|__ \ B
A H

In cui AH=CD, quindi HB=5.
HC=6
Con pitagora trovo BC: $BC=sqrt(5^2+6^2)=sqrt(61)$
il perimetro quindi: $2p= x+x+5+sqrt(61)=2x+5+sqrt(61)$
Dato che AHCD è un rombo (diagonali perpendicolari) e so che XC=6, $x=6$.
$2p= 6*2+5+sqrt(61)= 17+sqrt(61)$


... a te viene 19, ????

[kobeilprofeta]

"TeM":Un "noto" teorema afferma che in un trapezio rettangolo avente le diagonali perpendicolari, il lato perpendicolare
alle basi (l'altezza \(h\)) è medio proporzionale tra le due basi \(B\) e \(b\). In 'matematichese' significa che \(B : h = h : b\)
dalla quale segue che \(B\cdot b = h^2\). Dunque, per risolvere in scioltezza questo problema, a mio avviso, occorre dimostrare tale teorema tramite i criteri di smilitudine (qualora non fosse già stato fatto in precedenza) e solamente a quel punto passare ai conti che diventeranno una banalità. Per altro basta chiedere

quindi sbagliavo a dire che AHCD è un quadrato?

[kobeilprofeta]

Chiedo venia. Ho intrapreso il problema come se fosse :"le diagonali Ac e DH sono perpendicolari...
In quel caso avrei ragione?

[raffaele19651]

TeM:Un "noto" teorema afferma che in un trapezio rettangolo avente le diagonali perpendicolari, il lato perpendicolare
alle basi (l'altezza \(h\)) è medio proporzionale tra le due basi \(B\) e \(b\). In 'matematichese' significa che \(B : h = h : b\)
dalla quale segue che \(B\cdot b = h^2\). Dunque, per risolvere in scioltezza questo problema, a mio avviso, occorre dimostrare tale teorema tramite i criteri di smilitudine (qualora non fosse già stato fatto in precedenza) e solamente a quel punto passare ai conti che diventeranno una banalità. Spero sia un po' più chiaro

Grazie. È esattamente il teorema a cui non abbiamo mai pensato. Incredibile!!!
La soluzione era sotto i nostri occhi, anche piuttosto facile....

Grazie ancora.

Raffaele

[Sk_Anonymous]

Una semplice dimostrazione del "noto" teorema".
Prolunghiamo AB, dalla parte di A, di un segmento AE congruente a CD. Il quadrilatero EACD, avendo i lati
opposti EA e CD paralleli e congruenti , è un parallelogramma. Pertanto ED è parallelo ad AC e poiché
quest'ultimo è per ipotesi perpendicolare a BD ne segue che anche ED è perpendicolare a BD.
Allora dal triangolo rettangolo EBD, per il secondo teorema di Euclide , si ha che :
$EA:AD=AD:AB$
che è la tesi.