Problema sulla parabola

[shintek201]

Dette A e B le intersezioni della retta y=mx con la parabola [tex]y=1/2 x^2 + 1/2[/tex] e C e D le proiezioni ortogonali rispettivamente di A e B sull'asse x,determinare m in modo che il trapezio ABDC sia equivalente al quadrato CD

Risultati: [tex]y=± radq2x[/tex] ; [tex]y=±x[/tex]
Non so da dove iniziare!
Aiutatemi grazie.

[giammaria2]

Nel modo più ovvio: trovando le intersezioni fra la retta e la parabola. Fallo e poi vedremo come continuare, ma probabilmente ci riuscirai da solo: non è difficile.

[shintek201]

Già fatto: tra y=mx e la parabola, mi risulta m= ± 1
Quindi è sbagliato...

[dreamager]

"shintek20":Già fatto: tra y=mx e la parabola, mi risulta m= ± 1
Quindi è sbagliato...

Ma tu hai imposto il delta uguale a zero per avere quel risultato, il delta uguale a zero devi imporlo quando vuoi che ci sia una sola intersezione tra i luoghi geometrici. Se la tua retta avesse una sola intersezione con la parabola, sarebbe impossibile costruire quel trapezio, non pensi? Non hai ragione di imporre il delta uguale a 'qualcosa'.

Semplicemente, sostituisci alla y della parabola la y della retta (cioè mx), poi applica la formula risolutiva quadratica (quella breve se vuoi) e trovi due x, quelle saranno le ascisse di A e B. Ora, sai le ascisse di A e B (seppure scritte in funzione di un parametro m), per trovare le ordinate di A e B dovresti...

Ciao =D.

[shintek201]

Ma tu hai imposto il delta uguale a zero per avere quel risultato, il delta uguale a zero devi imporlo quando vuoi che ci sia una sola intersezione tra i luoghi geometrici. Se la tua retta avesse una sola intersezione con la parabola, sarebbe impossibile costruire quel trapezio, non pensi? Non hai ragione di imporre il delta uguale a 'qualcosa'.

Cosa sarebbe questo 'qualcosa'?
Perfavore spiegati bene e chiaramente.

[giammaria2]

Se hai cercato le intersezioni, avrai trovato $x=m+-sqrt(m^2-1)$. Se tu volessi la tangenza, imporresti $m^2-1=0$ (zero era il "qualcosa" a cui si riferiva dreamager), ma non vuoi questo quindi non fai quel calcolo: calcola invece anche la $y$ ed avrai le coordinate di A e B in funzione di $m$. A questo punto fai la figura (avresti però fatto bene a farla anche prima): la parabola può essere disegnata bene, ma la retta è scelta a caso fra quelle che passano per l'origine ed intersecano la parabola. Osserva la figura: dove sono C e D? Quanto valgono basi ed altezza del trapezio? Calcolale (in funzione di $m$) e, in conseguenza, calcola l'area, che uguaglierai all'area del quadrato indicato. Alla fine dovresti trovare l'equazione $(m^2-1)(m^4-4m^2+4)=0$ e la risolvi.

[dreamager]

"shintek20":

Ma tu hai imposto il delta uguale a zero per avere quel risultato, il delta uguale a zero devi imporlo quando vuoi che ci sia una sola intersezione tra i luoghi geometrici. Se la tua retta avesse una sola intersezione con la parabola, sarebbe impossibile costruire quel trapezio, non pensi? Non hai ragione di imporre il delta uguale a 'qualcosa'.

Cosa sarebbe questo 'qualcosa'?
Perfavore spiegati bene e chiaramente.

Se tu volessi che le ascisse tra le due intersezioni fossero distanti 'tot', potresti imporre radice di delta uguale a quel 'tot'. Oppure se vuoi che le ascisse coincidano, allora la distanza tra le ascisse delle due intersezioni vuoi che sia zero, dunque imponi radice di delta uguale a zero. Ma in questo caso non hai nulla in mano, quindi devi solo risolvere l'equazione trascinandoti dietro la m, come ha fatto giammaria, e poi proseguire.

[giammaria2]

Attento, dreamager: detta $x_1$ la soluzione maggiore, la distanza fra le ascisse è $x_1-x_2=(sqrt Delta)/|a|$. La tua affermazione è giusta solo quando, come nel caso attuale, si ha $|a|=1$.

[shintek201]

Ragazzi ho trovato le coordinate ecco come risultano :
A $ (m + sqrt(m^2-1) ; m( m + sqrt(m^2-1)))$
B $(m - sqrt(m^2-1) ; m( m - sqrt(m^2-1)))$
C $(m + sqrt(m^2-1) ; 0 ) $
D $(m - sqrt(m^2-1) ; 0 ) $

E ora cosa devo fare? Come procedo?

[giammaria2]

Dalla figura vedi che le basi del trapezio sono AC e BD, mentre l'altezza è CD: calcola (sempre in funzione di $m$) la lunghezza di questi segmenti e deducine l'area.

[shintek201]

Ecco quanto mi risulta

AC = $ m(m+ sqrt(m^2-1))$
BD = $ m(m- sqrt(m^2-1))$
CD = $ 2sqrt(m^2-1)) $

E ora come vado avanti?
Grazie a tutti

PS sei sicuro che l'altezza sia CD?

[shintek201]

Problema risolto!
Ci ho perso un pò di tempo,ma alla fine ce l'ho fatta!
Grazie ancora a tutti!