Problema sulla parabola (41261)

[elbarto1993]

Tracciare una retta parallela all'asse x in modo che la corda intercettata su di essa dalla parabola y=-x^2+6x-5 misuri 3.

[BIT5]

La retta parallela all'asse x ha equazione generica

[math] y=k [/math]

Con x variabile, quindi, e x costante.

I punti di intersezione saranno dunque

[math] y_1=y_2=k=x^2+6x-5 [/math]

Troviamo quindi le ascisse dei punti generici di intersezione tra la retta e la parabola

[math] k=x^2+6x-5 \to x^2+6x-5-k=0 [/math]

Da cui (utilizzando la ridotta)

[math] \Delta= 9 - (-5-k)= 9+5+k=14+k [/math]

[math] x_{1,2}= -3 \pm \sqrt{14+k} [/math]

Quindi

[math] x_1=-3 + \sqrt{14+k} [/math]

e

[math] x_2=-3- \sqrt{14+k} [/math]

La distanza tra questi due punti dev'essere 3.

Essendo due punti "orizzontali" la distanza sara' (in valore assoluto) la differenza tra le due ascisse

[math] |-3+ \sqrt{14+k}-(-3- \sqrt{14+k})|=3 \to |-3+ \sqrt{14+k}+3+ \sqrt{14+k}|=3 [/math]

E dunque

[math]|2 \sqrt{14+k}|=3 \to 2 \sqrt{14+k}= \pm 3 [/math]

Primo caso:

[math] 2 \sqrt{14+k}=3 [/math]

Eleviamo al quadrato ambo i membri

[math] 4 (14+k)=9 \to 56+4k=9 \to k= - \frac{47}{4} [/math]

Secondo caso

[math] 2 \sqrt{14+k}=-3 [/math]

Qui abbiamo una radice (sempre positiva) moltiplicata per 2 che da' senza dubbio un prodotto positivo, e quindi non potra' mai essere = -3.

Se avessi comunque elevato al quadrato, avresti ottenuto lo stesso risultato di prima.

La retta, dunque, sara'

[math] y= - \frac{47}{4} [/math]

.

[elbarto1993]

ok...però sul libro il risultato è y=7/4

[BIT5]

Certo, perche' la parabola che ho scritto io (come puoi notare) non ha il - davanti a x^2.

L'ho visto ora.

Comunque il procedimento e' identico, con valori diversi.
L'importante e' che tu abbia capito.

[elbarto1993]

ah ok...tutto chiaro ora