Problema sulla distanza tra punti

[jitter1]

Ho un punto $P(x_1, x_2)$, dove $x_1, x_2 \in$ all'intervallo aperto (0, 1).

Indico con $d(P, Q)$ la distanza di P da un altro punto $Q(y_1, y_2)$.
Vorrei verificare con passaggi algebrici che $ EE \epsilon$ tale che $d(P, Q) < \epsilon rArr y_1, y_2 \in$ (0, 1).

In pratica sto consumando un sacco di carta...
Rappresentando graficamente il problema osservo che, scegliendo $\epsilon = min (1 - x_1, 1 - x_2)$, posso disegnare dei cerchi/intorni di centro P contenuti nel quadrato i cui punti hanno coordinate comprese tra 0 e 1. Ciò equivale a dire che $y_1, y_2 \in $ (0, 1).
Devo dimostrarlo:

Suppongo $x_1 > x_2$, cioè $\epsilon = 1 - x_1$

Per ipotesi: $d(P, Q) < \epsilon$

$ sqrt((x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2) <( 1 - x_1) $

$ (x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < (1 - x_1)^2 $

Da qui ho provato in vari modi a dedurre disuguaglianze utili a concludere $0 < y_1 < 1$ e $0 < y_2 < 1$, ma giro a vuoto...
Grazie a chi ha voglia di darmi una mano!

[theras]

Osserva come certamente,nelle tue ipotesi su $x_1,x_2$,avrai che
$(y_1-x_1)^2$($=(x_1-y_1)^2<=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2$)$<(1-x_1)^2$:
pertanto $|y_1-x_1|<|1-x_1|=1-x_1rArrx_1-1 In modo analogo,poichè per fissare le idee hai supposto $1>x_1>x_2$
(e dunque $0<1-x_1<1-x_2rArr(1-x_1)^2<(1-x_2)^2$..),
potresti desumere che $y_2<1$:
conclusioni anloghe,con gli ovvi aggiustamenti,potrai dedurre qualora fosse $x_1<=x_2$..
Per verificare poi che $y_1,y_2>0$ provi tu a procedere per assurdo
(la disuguaglianza triangolare potrebbe esserti utile,ad occhio..)?
Saluti dal web.

[jitter1]

Tutto chiaro, Theras, grazie!

"theras":Per verificare poi che $y_1,y_2>0$ provi tu a procedere per assurdo
(la disuguaglianza triangolare potrebbe esserti utile,ad occhio..)?

No, sto entrando in loop! Perché sembra semplice, eppure... continuo a concludere inutilmente le ipotesi!

[giammaria2]

Uso le tue lettere, anche se mi hanno dato qualche difficoltà: sarebbe stato più sensato porre $P(x_1,y_1)$ e $Q(x_2,y_2)$. La tua scelta di $epsilon$ è incompleta, come puoi vedere dal grafico: quella esatta è $epsilon=min(x_1,1-x_1,x_2,1-x_2)$.
Suppongo che il minimo sia $x_1$: tralasciando gli uguali (qui e dopo), questo comporta fra l'altro $x_1<1-x_1=>x_1<1/2$.
La diseguaglianza è quindi
$(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2 Poiché la somma di due numeri positivi è maggiore di ciascuno di essi, ne deduco
$(y_1-x_1)^2|y_1-x_1|-x_10 e, essendo $x_1<1/2$, concludo $0 Faccio ora gli stessi calcoli per la seconda parentesi, giungendo a $x_2-x_1 Poiché $x_1$ era il minimo, si ha
$x_2>x_1=>x_2-x_1>0$
e $1-x_2>x_1=>x_2+x_1<1$
e ne concludo $0
Non ho esaminato il caso in cui il minimo era $1-x_1$ ma credo che si possa fare in modo del tutto analogo.

EDIT: vedi dopo per una soluzione migliorata.

[theras]

@Jitter.
Io invece avevo dedotto,usando pure la (1) del mio post precedente,che,se per assurdo $y_1<=0$,avremmo avuto
$x_1-1<$($y_1-x_1<=0-x_1=$)$-x_1rArrx_1<1/2$;
iterando allora il procedimento
(riferendoci,al generico $n$-esimo passo di tale iterazione,all'intervallo $(0,1/(2^(n-1)))$..),
potremmo dire che $0 e ciò,passando al limite per $n to +oo$ tutti e tre i membri di tal catena di disuguaglianze e ricordando il Teorema dei due carabinieri,contrasta col fatto che $x_1 ne 0$..
Saluti dal web.
P.S.
In un primo momento,senza carta e penna,
avevo valutato come semplice una via che passasse per la seconda disuguaglianza triangolare:
mi sbagliavo,e mi spiace se la cosa t'ha instradata male .
Edit.
Corretto errore ortografico di genere:
il mio solito istinto infallibile sul sesso degli utenti !

[giammaria2]

Ripensandoci, ho trovato un miglioramento della mia soluzione. Poiché $epsilon$ è il minimo, si ha
$x_i>=epsilon=>x_i-epsilon>=0$
e $1-x_i>=epsilon=>x_i+epsilon<=1$
Dalla relazione
$(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2 notando che gli addendi sono minori del totale ottengo
$(y_i-x_i)^2|y_i-x_i|-epsilonx_i-epsilon e quindi, per le diseguaglianze precedenti, $0

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[jitter1]

Adesso è chiaro, grazie a entrambi!

"theras":mi spiace se la cosa t'ha instradato male

No problem, anzi mi ha stimolata