Problema sulla circonferenza
Data la circonferenza $x^2+y^2+2x-6y+6=0$, determinare sul maggiore degli archi $AB$ un punto $P$ in modo che la distanza dalla retta $t_a$ sia il doppio della distanza dalla retta $t_b$. Con $A(1,3)$ e $B(-1,1)$.
Allora questa è la parte finale di un problema nel quale grazie ad altri dati sono riuscito a calcolare le due rette che passano per questi due punti, che erano tangenti ad un'altra circonferenza.
$t_a: 3x-y+4=0$ $t_b: x-3y+8=0$.
Ora non riesco a trovare un modo per risolvere l'ultimo quesito. Ho la figura avanti da una mezz'oretta e ho provato a fare così: la distanza dal punto $P$ della prima retta e l'ho posto uguale a due volte la distanza da $P$ alla seconda retta. Ma ho due incognite, x e y che sono rispettivamente le coordinate di P e non riesco ad andare avanti.
Suggeritimi qualcosa...please
Allora questa è la parte finale di un problema nel quale grazie ad altri dati sono riuscito a calcolare le due rette che passano per questi due punti, che erano tangenti ad un'altra circonferenza.
$t_a: 3x-y+4=0$ $t_b: x-3y+8=0$.
Ora non riesco a trovare un modo per risolvere l'ultimo quesito. Ho la figura avanti da una mezz'oretta e ho provato a fare così: la distanza dal punto $P$ della prima retta e l'ho posto uguale a due volte la distanza da $P$ alla seconda retta. Ma ho due incognite, x e y che sono rispettivamente le coordinate di P e non riesco ad andare avanti.
Suggeritimi qualcosa...please
Risposte
sai che il punto P appartiene alla circonferenza, e quindi vale anche l'equazione della circonferenza...che puoi cosi' abbinare all'equazione in x ed y da te trovata (relativa alle distanze)
ottieni un sistema di 2 equazioni in 2 incognite, purtroppo non lineare. prova a vedere se si risolve "facilmente"
ottieni un sistema di 2 equazioni in 2 incognite, purtroppo non lineare. prova a vedere se si risolve "facilmente"
si anche questo ho provato a fare. Cioè, ora mi spiego meglio.
Ho ragionato in questo modo, ponendo $k$ come ascissa di $P$ e quindi per l'appartenenza del punto alla circonferenza ho:
$P(k, k^2+y^2+2k-6y+6)$
e poi sostituisco il tutto nella distanza punto retta?
Ho ragionato in questo modo, ponendo $k$ come ascissa di $P$ e quindi per l'appartenenza del punto alla circonferenza ho:
$P(k, k^2+y^2+2k-6y+6)$
e poi sostituisco il tutto nella distanza punto retta?
"Lorin":
Ho ragionato in questo modo, ponendo $k$ come ascissa di $P$ e quindi per l'appartenenza del punto alla circonferenza ho:
$P(k, k^2+y^2+2x-6y+6)$
rifletti bene su quello che hai scritto...
"codino75":
[quote="Lorin"]
Ho ragionato in questo modo, ponendo $k$ come ascissa di $P$ e quindi per l'appartenenza del punto alla circonferenza ho:
$P(k, k^2+y^2+2x-6y+6)$
rifletti bene su quello che hai scritto...[/quote]
si ho aggiustato.....
$P(k, k^2+y^2+2k-6y+6)$ errore di distrazione....sorry
"Lorin":
[quote="codino75"][quote="Lorin"]
Ho ragionato in questo modo, ponendo $k$ come ascissa di $P$ e quindi per l'appartenenza del punto alla circonferenza ho:
$P(k, k^2+y^2+2x-6y+6)$
rifletti bene su quello che hai scritto...[/quote]
si ho aggiustato.....
$P(k, k^2+y^2+2k-6y+6)$ errore di distrazione....sorry[/quote]
no, non era quello l'errore cui mi riferivo.
nel punto P devi mettere l'ordinata giusta
giusto...in effetti per dare un valore all'ordinata di $P$ dovrei avere qualcosa del tipo $y=....$?
"Lorin":
giusto...in effetti per dare un valore all'ordinata di $P$ dovrei avere qualcosa del tipo $y=....$?
esatto...
Ok.
Per trovare il valore dell'ordinata, dovrei risolvere $k^2+y^2+2k-6y+6$?
E quindi $P(k, 3+-sqrt(3-k^2-2k))$ ?
Per trovare il valore dell'ordinata, dovrei risolvere $k^2+y^2+2k-6y+6$?
E quindi $P(k, 3+-sqrt(3-k^2-2k))$ ?
"Lorin":
Ok.
Per trovare il valore dell'ordinata, dovrei risolvere $k^2+y^2+2k-6y+6$?
E quindi $P(k, 3+-sqrt(3-k^2-2k))$ ?
si' anche se non ho controllato i calcoli...
alternativamente metti a sistema l'equazione della circonferenza con quella delle distanze, come dicevo prima, e per risolvere tale sistema forse c'e' qualche metodo meno dispendioso.
@lorin il procedimento è giusto ma non devi porre k come ascissa di P, poni direttamente x
poi ottieni l'equazione di secondo grado, trovi le due y, sostituisci e vedi quale pupnto dei due che ti escono appartiene all'arco maggiore, il resto è in discesa.
in alternativa sistema con la circonferenza come hanno già suggerito altri.
ciao!
poi ottieni l'equazione di secondo grado, trovi le due y, sostituisci e vedi quale pupnto dei due che ti escono appartiene all'arco maggiore, il resto è in discesa.
in alternativa sistema con la circonferenza come hanno già suggerito altri.
ciao!
Allora mettendo x come mi suggerisce Raptorista, avrei $P(x,...)$
E risolvendo questa equazione: $x^2+y^2+2x-6y+6$
$6+-sqrt(36-4(x^2+2x+6))/2 => 3+-sqrt(3-x^2-2x)$
quindi
$P(x,3+-sqrt(3-x^2-2x))$
Ora devo applicare la distanza punto retta?
E risolvendo questa equazione: $x^2+y^2+2x-6y+6$
$6+-sqrt(36-4(x^2+2x+6))/2 => 3+-sqrt(3-x^2-2x)$
quindi
$P(x,3+-sqrt(3-x^2-2x))$
Ora devo applicare la distanza punto retta?
a livello teorico sì, sempre ricordando la condizione che P sia sull'arco maggiore, però visto che è venuta una brutta radice direi che ti sarebbe convenuto il sistema con la circonferenza XD
quindi supposto che sia $PH$ la distanza tra il punto $P$ e la retta $t_a$ e supposto che sia $PK$ la distanza tra il punto e la retta $t_b$
sarebbe meglio mettere a sistema con la circonferenza $PH=2PK$?
sarebbe meglio mettere a sistema con la circonferenza $PH=2PK$?
"Lorin":
quindi supposto che sia $PH$ la distanza tra il punto $P$ e la retta $t_a$ e supposto che sia $PK$ la distanza tra il punto e la retta $t_b$
sarebbe meglio mettere a sistema con la circonferenza $PH=2PK$?
direi di si'...
ok ora ci provo e ti faccio sapere come mi viene....
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