Problema sulla circonferenza
Non mi riesce questo problema, potete aiutarmi?
"una circonferenza è tangente all'asse y e ha il raggio di misura 2:scrivere l'equazione della circonferenza sapendo che stacca sulla bisettrice del primo quadrante una corda di misura 2sqrt(2). grazie raga'.
"una circonferenza è tangente all'asse y e ha il raggio di misura 2:scrivere l'equazione della circonferenza sapendo che stacca sulla bisettrice del primo quadrante una corda di misura 2sqrt(2). grazie raga'.
Risposte
allora secondo me il sisteme che devi impostare è...
allora tg con l'asse y vuol dire che ${(x=0),(x^2+y^2+ax+by+c):}$
da cui si ottine$y^2+by+c=0$ quindi$delta=0$quindi$b^2-4c=0$
poi il raggio =2
$2=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)$
infine deve staccare una corda dall'int con la retta y=x lunga $sqrt2$
quindi${(x=y),(x^2+y^2+ax+by+c):}$
si ottiene$(x^2+x^2+ax+bx+c)$
il suo$delta<0$per avere intersezioni e la distanza dei suoi punti di intersezione deve essere ugule alla lunghezza della corda quindi$(-(a+b)+-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4$essendo che le x sono uguli alle y l'equazione della distanza tra i due punti diventa
$sqrt(((-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4)^2+((-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4))^2$
quindi il sistema che bisogna risolver(un pò di calcoli bisogna fare :cry: )è:
${(b^2-4c=0),(2=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)),(sqrt(((-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4)^2+((-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4))^2):}$
allora tg con l'asse y vuol dire che ${(x=0),(x^2+y^2+ax+by+c):}$
da cui si ottine$y^2+by+c=0$ quindi$delta=0$quindi$b^2-4c=0$
poi il raggio =2
$2=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)$
infine deve staccare una corda dall'int con la retta y=x lunga $sqrt2$
quindi${(x=y),(x^2+y^2+ax+by+c):}$
si ottiene$(x^2+x^2+ax+bx+c)$
il suo$delta<0$per avere intersezioni e la distanza dei suoi punti di intersezione deve essere ugule alla lunghezza della corda quindi$(-(a+b)+-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4$essendo che le x sono uguli alle y l'equazione della distanza tra i due punti diventa
$sqrt(((-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4)^2+((-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4))^2$
quindi il sistema che bisogna risolver(un pò di calcoli bisogna fare :cry: )è:
${(b^2-4c=0),(2=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)),(sqrt(((-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4)^2+((-(a+b)-sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4-(-(a+b)+sqrt((a+b)^2-4*2*c))/4))^2):}$
Se fai benissimo il disegno il problema può essere facilmente risolto
con alcuni semplici ragionamenti.
La corda di lunghezza $2sqrt(2)$ e il raggio di lungh 2 sono una manna dal cielo..
La corda è molto particolare..
E' infatti la diagonale di un quadrato avente come lati i raggi
della circonferenza !!
infatti se $r=2$ è la lunghezza dei due lati del quadrato (nonche lungh del raggio)
allora la diagonale del quadrato misura $sqrt(2^2 + 2^2) = 2sqrt(2) $
Detti $A$ e $B$ gli estremi della corda (di cui, per ora, non conosciamo la posizione)
consideriamo il triangolo isoscele $AOB$ con $O$ centro della circonferenza.
I passi successivi sono :
dimostrare che i cateti del triangolo, sono sempre paralleli agli assi cartesiani;
trovare le "posizioni" di tale triangolo (dalla dim di prima sappiamo che ha i lati
paralleli agli assi cartesiani, bisogna tenerne conto)
in modo che la distanza del vertice $O$
del triangolo (centro della circonferenza) dall'asse delle $y$ sia sempre pari a $2$
(che è anche la lungh del lato del triangolo !!)
E'semplice vedere che ci sono 4 posizioni possibili per il triangolo,
per cui O può assumere le coordinate $(2, 0) (2, 4) (-2, 0) (-2, -4)$
Tali coordinate sono anche i centri delle circonferenze che soddisfano
i requisiti enunciati nel problema..
Però solo le $(2, 0)$ e $(2, 4)$ sono centri di circ che staccano la corda
sulla bisettrice del primo quad. (semiretta $y=x$ con $x>=0$)
$(-2, 0) (-2, -4)$ sono centri di circ che staccano la corda
sulla bisettrice del terzo quad. (semiretta $y=x$ con $x<=0$)
Mi sono espresso malissimo
non so se ho reso l'idea..
con alcuni semplici ragionamenti.
La corda di lunghezza $2sqrt(2)$ e il raggio di lungh 2 sono una manna dal cielo..
La corda è molto particolare..
E' infatti la diagonale di un quadrato avente come lati i raggi
della circonferenza !!
infatti se $r=2$ è la lunghezza dei due lati del quadrato (nonche lungh del raggio)
allora la diagonale del quadrato misura $sqrt(2^2 + 2^2) = 2sqrt(2) $
Detti $A$ e $B$ gli estremi della corda (di cui, per ora, non conosciamo la posizione)
consideriamo il triangolo isoscele $AOB$ con $O$ centro della circonferenza.
I passi successivi sono :
dimostrare che i cateti del triangolo, sono sempre paralleli agli assi cartesiani;
trovare le "posizioni" di tale triangolo (dalla dim di prima sappiamo che ha i lati
paralleli agli assi cartesiani, bisogna tenerne conto)
in modo che la distanza del vertice $O$
del triangolo (centro della circonferenza) dall'asse delle $y$ sia sempre pari a $2$
(che è anche la lungh del lato del triangolo !!)
E'semplice vedere che ci sono 4 posizioni possibili per il triangolo,
per cui O può assumere le coordinate $(2, 0) (2, 4) (-2, 0) (-2, -4)$
Tali coordinate sono anche i centri delle circonferenze che soddisfano
i requisiti enunciati nel problema..
Però solo le $(2, 0)$ e $(2, 4)$ sono centri di circ che staccano la corda
sulla bisettrice del primo quad. (semiretta $y=x$ con $x>=0$)
$(-2, 0) (-2, -4)$ sono centri di circ che staccano la corda
sulla bisettrice del terzo quad. (semiretta $y=x$ con $x<=0$)
Mi sono espresso malissimo
non so se ho reso l'idea..
Sto cercando di continuare.Grazie per il suggerimento a tutti e due.
Qualcuno più bravo di me (ci va poco) saprebbe formalizzare bene il ragionamento che ho cercato di fare
nel mio post precedente, così che possa essere un esempio di soluzione alternativa al problema ??
Potrebbe essere un buon esempio di "sinergia" tra la geometria euclidea e la geometria analitica..
nel mio post precedente, così che possa essere un esempio di soluzione alternativa al problema ??
Potrebbe essere un buon esempio di "sinergia" tra la geometria euclidea e la geometria analitica..
L'equazione della circonferenza di centro $C=(a,b)$ è in generale $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ con $r$=raggio, per cui in tal caso si scrive
$(x-a)^2+(y-b)^2=4$
Allora la tangenza all'asse y impone il sistema:
${(x=0),((x-a)^2+(y-b)^2=4):}$ e cioè $y^2-2by+(a^2+b^2-4)=0$
La condizione di tangenza impone $Delta=0$ per cui $b^2-(a^2+b^2-4)=0$ da cui $a^2=4$ e cioè $|a|=2$ cioè $a=+-2$.
Per capire ora i punti staccati sulla circonferenza allora va fatto il sistema
${(y=x),((x-a)^2+(y-b)^2=4):}$ da cui $2x^2-2x(a+b)+(a^2+b^2-4)=0$ $<=>$ $2x^2-2x(a+b)+b^2=0$ essendo $a^2=4$ . Affinchè le intersezioni siano due deve verificarsi che $Delta=(a+b)^2-2b^2=4-b^2+2ab>0$.
Per cui le intersezioni sono
$x_(1,2)=((a+b)+-sqrt((a+b)^2-2b^2))/2=((a+b)+-sqrt(4-b^2+2ab))/2$.
I punti sono allora
$(((a+b)+sqrt(4-b^2+2ab))/2,((a+b)+sqrt(4-b^2+2ab))/2)$ e $(((a+b)-sqrt(4-b^2+2ab))/2,((a+b)-sqrt(4-b^2+2ab))/2)$
Chiamiamo con $d$ la lunghezza di tale corda. Deve aversi $d^2=8$
Ma $d^2=2*(4-b^2+2ab)=8-2b^2+4ab$. Per cui deve essere
$8-2b^2+4ab=8$ cioè $2b(b-2a)=0$ cioè $b=0$ U $b=2a$. Si noti che sia $b=0$ che $b=2a$ rispettano la condizione $Delta=(a+b)^2-2b^2=4-b^2+2ab>0$, per cui sono entrambi accettabili.
Quindi per
1)$a=2$ $b=0$ l'equazione è $x^2+y^2-4x=0$
2) $a=2$ $b=2a=4$ l'equazione è $x^2+y^2-4x-8y+16=0$
3)$a=-2$ $b=0$ l'equazione è $x^2+y^2+4x=0$
4)$a=-2$ $b=2a=-4$ l'equazione è $x^2+y^2+4x+8y+16=0$
Ora se specifichi meglio la traccia, potrai scegliere se quelle che ti servono sono 1) e 2), oppure 3) e 4).
$(x-a)^2+(y-b)^2=4$
Allora la tangenza all'asse y impone il sistema:
${(x=0),((x-a)^2+(y-b)^2=4):}$ e cioè $y^2-2by+(a^2+b^2-4)=0$
La condizione di tangenza impone $Delta=0$ per cui $b^2-(a^2+b^2-4)=0$ da cui $a^2=4$ e cioè $|a|=2$ cioè $a=+-2$.
Per capire ora i punti staccati sulla circonferenza allora va fatto il sistema
${(y=x),((x-a)^2+(y-b)^2=4):}$ da cui $2x^2-2x(a+b)+(a^2+b^2-4)=0$ $<=>$ $2x^2-2x(a+b)+b^2=0$ essendo $a^2=4$ . Affinchè le intersezioni siano due deve verificarsi che $Delta=(a+b)^2-2b^2=4-b^2+2ab>0$.
Per cui le intersezioni sono
$x_(1,2)=((a+b)+-sqrt((a+b)^2-2b^2))/2=((a+b)+-sqrt(4-b^2+2ab))/2$.
I punti sono allora
$(((a+b)+sqrt(4-b^2+2ab))/2,((a+b)+sqrt(4-b^2+2ab))/2)$ e $(((a+b)-sqrt(4-b^2+2ab))/2,((a+b)-sqrt(4-b^2+2ab))/2)$
Chiamiamo con $d$ la lunghezza di tale corda. Deve aversi $d^2=8$
Ma $d^2=2*(4-b^2+2ab)=8-2b^2+4ab$. Per cui deve essere
$8-2b^2+4ab=8$ cioè $2b(b-2a)=0$ cioè $b=0$ U $b=2a$. Si noti che sia $b=0$ che $b=2a$ rispettano la condizione $Delta=(a+b)^2-2b^2=4-b^2+2ab>0$, per cui sono entrambi accettabili.
Quindi per
1)$a=2$ $b=0$ l'equazione è $x^2+y^2-4x=0$
2) $a=2$ $b=2a=4$ l'equazione è $x^2+y^2-4x-8y+16=0$
3)$a=-2$ $b=0$ l'equazione è $x^2+y^2+4x=0$
4)$a=-2$ $b=2a=-4$ l'equazione è $x^2+y^2+4x+8y+16=0$
Ora se specifichi meglio la traccia, potrai scegliere se quelle che ti servono sono 1) e 2), oppure 3) e 4).
"caratheodory":
trovare le "posizioni" di tale triangolo (dalla dim di prima sappiamo che ha i lati
paralleli agli assi cartesiani, bisogna tenerne conto)
in modo che la distanza del vertice $O$
del triangolo (centro della circonferenza) dall'asse delle $y$ sia sempre pari a $2$
(che è anche la lungh del lato del triangolo !!)
E'semplice vedere che ci sono 4 posizioni possibili per il triangolo,
per cui O può assumere le coordinate $(2, 0) (2, 4) (-2, 0) (-2, -4)$
Si può immaginare il triangolo $OAB$ (che sappiamo avere l'"ipotenusa - corda della circ", che giace sulla retta y=x) come libero
di scorrere lungo la retta $y=x$ e "fermarlo" solo nelle posizioni che soddisfano l'enunciato..
Il vertie $O$ può essere in entrambi i semipiani di $RR^2$ divisi dalla retta $y=x$
I risultati delle due equazioni sono:
x^2 + y^2 - 4x = 0
x^2 + y^2 - 4x - 8y +16 = 0
mi viene solo la prima.
x^2 + y^2 - 4x = 0
x^2 + y^2 - 4x - 8y +16 = 0
mi viene solo la prima.
"nicasamarciano":
Ma deve essere ovviamente $a=2$, cioè se deve essere tangente all'asse $y$ e staccare una corda sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, allora l'ascissa del centro deve essere positiva.
L'ascissa dev'essere positiva se consideri come bisettrice del primo quadrante solo la semiretta $y=x$ con $x>=0$
ma se consideri la bisettrice del primo e terzo quadrante ($y=x$ e basta) , allora l'ascissa del centro può anche essere negativa
per ovvi motivi di simmetria..
"asterix":
I risultati delle due equazioni sono:
x^2 + y^2 - 4x = 0
x^2 + y^2 - 4x - 8y +16 = 0
mi viene solo la prima.
ti ho risposto nel mio post
"caratheodory":
un esempio di soluzione alternativa al problema ??
Potrebbe essere un buon esempio di "sinergia" tra la geometria euclidea e la geometria analitica..
Intendi così?
Disegno circonferenza. 
Muovi il punto F e osserva le equazioni in rosso come cambiano.
P.S Fra un paio d'ore rimuovo il tutto.
Che Bello GeoGebra !!
Intendevo una dimostrazione cmq il disegno
è un grande aiuto..
Intendevo una dimostrazione cmq il disegno
è un grande aiuto..
"caratheodory":
Intendevo una dimostrazione cmq il disegno è un grande aiuto..
Ah, ho frainteso la tua richiesta. Va be' non avevo comunque niente da fare... Rimuovo il tutto e vo a nanna. Buona notte.
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