Problema sulla cinematica
Salve a tutti vorrei riproporre un problema che avevo già proposto in precedenza; non l'ho completamente risolto ma chiedo se i risultati (i pochi risultati che ho trovato) siano giusti.
Allora il problema è questo:
In una gara sulla distanza d=100m, due atleti impiegano lo stesso tempo di t=10,2s. Il primo impiega [tex]t_1=2s[/tex] in accelerazione costante, poi mantiene la velocità costante fino alla fine; mentre il secondo accelera per [tex]t_2=3s[/tex], poi mantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrente l'accelerazione e la velocità massima. In questa gara, quale concorrente si trova in testa dopo che è trascorso il tempo [tex]t_3=6s[/tex] dalla partenza?
Allora io credo di aver calcolato la velocità media per tutti e due così
[tex]\frac{100}{10,2}=9,8m/s[/tex]
fatto ciò ho usato la formula
[tex]v=v_0+at[/tex] per trovare l'accelerazione del primo concorrente che
mi ha dato [tex]4,9m/s^2[/tex]
e del secondo
[tex]3,3m/s^2[/tex]
per calcolare la velocità massima ho usato la formula
[tex]2a(s-s_0)=v^2-v_0^2[/tex] però ho ottenuto un risultato molto strano tipo 31,31m/s che mi sembra puramente assurdo.
Chiedo a voi di darmi un aiuto grazie.
Allora il problema è questo:
In una gara sulla distanza d=100m, due atleti impiegano lo stesso tempo di t=10,2s. Il primo impiega [tex]t_1=2s[/tex] in accelerazione costante, poi mantiene la velocità costante fino alla fine; mentre il secondo accelera per [tex]t_2=3s[/tex], poi mantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrente l'accelerazione e la velocità massima. In questa gara, quale concorrente si trova in testa dopo che è trascorso il tempo [tex]t_3=6s[/tex] dalla partenza?
Allora io credo di aver calcolato la velocità media per tutti e due così
[tex]\frac{100}{10,2}=9,8m/s[/tex]
fatto ciò ho usato la formula
[tex]v=v_0+at[/tex] per trovare l'accelerazione del primo concorrente che
mi ha dato [tex]4,9m/s^2[/tex]
e del secondo
[tex]3,3m/s^2[/tex]
per calcolare la velocità massima ho usato la formula
[tex]2a(s-s_0)=v^2-v_0^2[/tex] però ho ottenuto un risultato molto strano tipo 31,31m/s che mi sembra puramente assurdo.
Chiedo a voi di darmi un aiuto grazie.
Risposte
Mi sembra che il problema si possa risolvere così ....
Il concorrente 1 si muove di moto uniformemente accelerato per $0 <= t <= t_1$ e di moto uniforme per $t_1 < t <=t_\text(f)=10.2 \ s$.
Le condizioni iniziali per il moto nel primo intervallo sono $x_(1, 0) = 0$ e $v_(1, 0)=0$ e nel secondo intervallo sono quelle finali del primo.
Perciò le equazioni del moto e della velocità sono,
per $0 <= t <= t_1$, $\{(x_1(t)=1/2*a_1*t^2), (v_1(t)=a_1*t):}$
e,
per $t_1 <= t <= t_f$, $\{(x_1(t)=x_1(t_1)+v_1(t_1)*(t-t_1)), (v_1(t)=v_1(t_1)):}$.
Siccome $x_1(t_1) = 1/2*a_1*t_1^2$ e $v_1(t_1)=a_1*t_1$, l'equazione oraria nel secondo intervallo diventa $x_1(t)=1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*(t - t_1)$.
Poiché per $t = t_f$ il concorrente 1 è arrivato alla distanza $d$, l'equazione precedente consente di trovare $a_1$: $d=x_1(t_f)=1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*(t_\text(f) - t_1)->d=1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*t_\text(f) - a_1*t_1^2->$
$d=-1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*t_\text(f)->d=a_1*t_1*(t_\text(f)-1/2*t_1)$.
Da cui
$a_1= d/(t_1*(t_\text(f)-1/2*t_1))=100/(2*(10.2-2/2))=50/9.2~=5.43\ m*s^-2$.
Ragionando in modo perfettamente analogo si può trovare che, per $t_2 < t <=t_\text(f)=10.2 \ s$, $x_2(t)=1/2*a_2*t_2^2+a_2*t_2*(t - t_2)$.
Da cui
$a_2=d/(t_2*(t_\text(f)-1/2*t_2))=100/(3*(10.2-3/2))=100/(3*8.7)~=3.83\ m*s^-2$.
La velocità massima è quella raggiunta alla fine del primo intervallo:
$v_(1, Max)= v_1(t_1) =a_1*t_1=5.43*2=10.86 \ m*s^-1$,
$v_(2, Max)= v_2(t_2) =a_2*t_2=3.83*3=11.49 \ m*s^-1$.
Infine
$x_1(6) =1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*(6 - t_1)=1/2*5.43*2^2+5.43*2*(6 - 2)=54.3 \ m$
$x_2(6) =1/2*a_2*t_2^2+a_2*t_2*(6 - t_2)=1/2*3.83*3^2+3.83*3*(6 - 3)=51.7 \ m$
e quindi a $6 \ s$ è in testa il concorrente 1.
Il concorrente 1 si muove di moto uniformemente accelerato per $0 <= t <= t_1$ e di moto uniforme per $t_1 < t <=t_\text(f)=10.2 \ s$.
Le condizioni iniziali per il moto nel primo intervallo sono $x_(1, 0) = 0$ e $v_(1, 0)=0$ e nel secondo intervallo sono quelle finali del primo.
Perciò le equazioni del moto e della velocità sono,
per $0 <= t <= t_1$, $\{(x_1(t)=1/2*a_1*t^2), (v_1(t)=a_1*t):}$
e,
per $t_1 <= t <= t_f$, $\{(x_1(t)=x_1(t_1)+v_1(t_1)*(t-t_1)), (v_1(t)=v_1(t_1)):}$.
Siccome $x_1(t_1) = 1/2*a_1*t_1^2$ e $v_1(t_1)=a_1*t_1$, l'equazione oraria nel secondo intervallo diventa $x_1(t)=1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*(t - t_1)$.
Poiché per $t = t_f$ il concorrente 1 è arrivato alla distanza $d$, l'equazione precedente consente di trovare $a_1$: $d=x_1(t_f)=1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*(t_\text(f) - t_1)->d=1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*t_\text(f) - a_1*t_1^2->$
$d=-1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*t_\text(f)->d=a_1*t_1*(t_\text(f)-1/2*t_1)$.
Da cui
$a_1= d/(t_1*(t_\text(f)-1/2*t_1))=100/(2*(10.2-2/2))=50/9.2~=5.43\ m*s^-2$.
Ragionando in modo perfettamente analogo si può trovare che, per $t_2 < t <=t_\text(f)=10.2 \ s$, $x_2(t)=1/2*a_2*t_2^2+a_2*t_2*(t - t_2)$.
Da cui
$a_2=d/(t_2*(t_\text(f)-1/2*t_2))=100/(3*(10.2-3/2))=100/(3*8.7)~=3.83\ m*s^-2$.
La velocità massima è quella raggiunta alla fine del primo intervallo:
$v_(1, Max)= v_1(t_1) =a_1*t_1=5.43*2=10.86 \ m*s^-1$,
$v_(2, Max)= v_2(t_2) =a_2*t_2=3.83*3=11.49 \ m*s^-1$.
Infine
$x_1(6) =1/2*a_1*t_1^2+a_1*t_1*(6 - t_1)=1/2*5.43*2^2+5.43*2*(6 - 2)=54.3 \ m$
$x_2(6) =1/2*a_2*t_2^2+a_2*t_2*(6 - t_2)=1/2*3.83*3^2+3.83*3*(6 - 3)=51.7 \ m$
e quindi a $6 \ s$ è in testa il concorrente 1.
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