Problema sui triangoli
Non mi viene in mente qualcosa di semplice per risolvere il seguente problema di Geometria:
Qualche idea?
Dimostrare che se la bisettrice di un angolo esterno alla base di un triangolo isoscele è parallela ad un lato, allora il triangolo è equilatero.
Qualche idea?
Risposte
Possibile?
Se è parallela all'altro lato obliquo allora l'angolo "appoggiato" al prolungamento della base é uguale all'angolo di base ma essendo bisettrice anche l'altro angolo (quello "appoggiato" al lato obliquo) è uguale all'angolo di base ...
Se è parallela all'altro lato obliquo allora l'angolo "appoggiato" al prolungamento della base é uguale all'angolo di base ma essendo bisettrice anche l'altro angolo (quello "appoggiato" al lato obliquo) è uguale all'angolo di base ...
"axpgn":
Possibile?
Se è parallela all'altro lato obliquo allora l'angolo "appoggiato" al prolungamento della base é uguale all'angolo di base ma essendo bisettrice anche l'altro angolo (quello "appoggiato" al lato obliquo) è uguale all'angolo di base ...
Sì, certo axpgn, gli angoli sono corrispondenti... Tuttavia il problema l'ho trovato nel capitolo sui criteri di congruenza dei triangoli di un vecchio testo, cosicché la teoria delle parallele non è stata ancora esposta.
Ah, beh ... però allora bisognerebbe sapere cosa si può usare e cosa no ... perché per esempio un'altra cosa che mi viene in mente è quella di tracciare una parallela alla base in modo da formare un parallelogramma, con diagonale e criteri di congruenza dei triangoli si dimostra che gli angoli opposti sono congruenti e quindi gli angoli corrispondenti delle parallele sono uguali ... così però inizia ad essere meno semplice ... 
Che ne pensi della proprietà dell'angolo esterno? Oltre ai criteri di parallelismo credo non siano stati trattati i parallelogrammi.
Dal vertice del triangolo isoscele traccio la parallela alla base fino a incontrare la bisettrice ... Si ottiene un triangolo isoscele congruente a quello di partenza per il terzo criterio. L'angolo al vertice del secondo triangolo é metà dell'angolo esterno ed uguale all'angolo al vertice del primo, per cui è anche uguale all'angolo alla base.
Dal vertice del triangolo isoscele traccio la parallela alla base fino a incontrare la bisettrice ... Si ottiene un triangolo isoscele congruente a quello di partenza per il terzo criterio. L'angolo al vertice del secondo triangolo é metà dell'angolo esterno ed uguale all'angolo al vertice del primo, per cui è anche uguale all'angolo alla base.
In base a cosa ritieni che i tre lati del nuovo triangolo siano congruenti a quelli del primo (senza parlare di parallelogrammi né delle proprietà delle parallele tagliate da una trasversale) ?
Ricordavo un teorema "segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti".
Pensandoci, però, mi rendo conto che per dimostrarlo bisogna almeno sapere che rette parallele tagliate da trasversale formano angoli alterni interni congruenti.
Pensandoci, però, mi rendo conto che per dimostrarlo bisogna almeno sapere che rette parallele tagliate da trasversale formano angoli alterni interni congruenti.
"igiul":
bisogna almeno sapere che rette parallele tagliate da trasversale formano angoli alterni interni congruenti.
questo si studia alle medie
Anyway
concentriamoci sul vertice dove abbiamo individuato l'angolo esterno: base del triangolo isoscele lato obliquo, bisettrice e prolungamento della base formano tre angoli supplementari, right?
i due angoli tra lato obliquo/bisettrice e bisettrice/prolungamento sono congruenti (per ipotesi: la bisettrice divide l'angolo esterno in due parti congruenti), l'angolo interno adiacente alla base (mi riferisco alla base del triangolo isoscele) è congruente all'altro angolo fratello adiacente alla base (per ipotesi: il triangolo è isoscele), il fratello è congruente all'angolo tra bisettrice e prolungamento (avevamo detto che bisettrice e lato sono paralleli dunque i due angoli sono "corrispondenti" sono congruenti) ecco che ci troviamo con i tre angoli supplementari che sono tra loro congruenti, per sapere quanto vale ciascuno dobbiamo dividere per 3 cioè $180°:3=60°$ allora i due angoli alla base del triangolo isoscele valgono $60°$, quindi quanto vale l'angolo al vertice del triangolo isoscele?
Va bene?
concentriamoci sul vertice dove abbiamo individuato l'angolo esterno: base del triangolo isoscele lato obliquo, bisettrice e prolungamento della base formano tre angoli supplementari, right?
i due angoli tra lato obliquo/bisettrice e bisettrice/prolungamento sono congruenti (per ipotesi: la bisettrice divide l'angolo esterno in due parti congruenti), l'angolo interno adiacente alla base (mi riferisco alla base del triangolo isoscele) è congruente all'altro angolo fratello adiacente alla base (per ipotesi: il triangolo è isoscele), il fratello è congruente all'angolo tra bisettrice e prolungamento (avevamo detto che bisettrice e lato sono paralleli dunque i due angoli sono "corrispondenti" sono congruenti) ecco che ci troviamo con i tre angoli supplementari che sono tra loro congruenti, per sapere quanto vale ciascuno dobbiamo dividere per 3 cioè $180°:3=60°$ allora i due angoli alla base del triangolo isoscele valgono $60°$, quindi quanto vale l'angolo al vertice del triangolo isoscele?
Va bene?
No, perché ...
gugo ha esplicitamente escluso il teorema delle parallele tagliate da una trasversale ...
"gio73":
... (avevamo detto che bisettrice e lato sono paralleli dunque i due angoli sono "corrispondenti" sono congruenti)
gugo ha esplicitamente escluso il teorema delle parallele tagliate da una trasversale ...
ah ok
ma senza quello non saprei come fare
ma senza quello non saprei come fare
Eh! Io ne ho proposti due (con le parallele prima che gugo lo escludesse e poi senza usando però i parallelogrammi) ... mah!
Semplice costruzione e poi ragionamento per assurdo:
considero un segmento della bisettrice lungo come i lati obliqui del triangolo originario. Unisco l'estremo di questo segmento non coincidente con il vertice dell'angolo al vertice del triangolo originario.
Ho ottenuto, per costruzione, un secondo triangolo isoscele. Ora supponiamo per assurdo che la metà dell'angolo esterno, cioè l'angolo individuato dalla bisettrice, sia diverso da 60°. E' banale notare che la somma degli angoli interni di uno o dell'altro triangolo non è 180°, il che è assurdo.
Di conseguenza l'angolo esterno del primo triangolo misura 120° (o la sua metà misura 60°, la stessa cosa). Di conseguenza i due angoli alla base del primo triangolo devono avere ampiezza 60° e anche il suo angolo al vertice. CVD
EDIT: per maggiore chiarezza e visibilità ripeto la stessa costruzione anche sull'altro angolo esterno del triangolo originario......................
considero un segmento della bisettrice lungo come i lati obliqui del triangolo originario. Unisco l'estremo di questo segmento non coincidente con il vertice dell'angolo al vertice del triangolo originario.
Ho ottenuto, per costruzione, un secondo triangolo isoscele. Ora supponiamo per assurdo che la metà dell'angolo esterno, cioè l'angolo individuato dalla bisettrice, sia diverso da 60°. E' banale notare che la somma degli angoli interni di uno o dell'altro triangolo non è 180°, il che è assurdo.
Di conseguenza l'angolo esterno del primo triangolo misura 120° (o la sua metà misura 60°, la stessa cosa). Di conseguenza i due angoli alla base del primo triangolo devono avere ampiezza 60° e anche il suo angolo al vertice. CVD
EDIT: per maggiore chiarezza e visibilità ripeto la stessa costruzione anche sull'altro angolo esterno del triangolo originario......................
"teorema55":
... E' banale notare che la somma degli angoli interni di uno o dell'altro triangolo non è 180°, ...
Per me no, non riesco a "notare che ..."
Ciao Alex.
Beh............proprio per tagliare la testa al toro mancherebbe dimostrare che la base del nuovo triangolo e quella del primo sono anch'esse parallele o (il che è la stessa cosa) che le basi degli ultimi due triangoli (vedi EDIT) sono parallele a quella del primo e quindi stanno sulla stessa retta.
En serio: prova a immaginare che ognuna delle due parti in cui la bisettrice divide l'angolo esterno misuri 55° (110° tutto l'angolo esterno). Ne deriva che gli angoli alla base del 1° triangolo valgono 70° ciascuno, e quindi quello al vertice 40°. Ora considera la misura degli angoli alla base del secondo (55° ciascuno) e quelli alla base del terzo triangolo (vedi EDIT), anch'essi di 55°. Dando "per scontato il parallelismo delle basi e l'appartenenza delle ultime due alla stessa retta, può darsi
$55+55+40 = 180$ ?
Questo può succedere se e solo se gli angoli alla base del primo triangolo valgono 60°, cioè se lo stesso è equilatero!
Cordialmente.
Marco
Beh............proprio per tagliare la testa al toro mancherebbe dimostrare che la base del nuovo triangolo e quella del primo sono anch'esse parallele o (il che è la stessa cosa) che le basi degli ultimi due triangoli (vedi EDIT) sono parallele a quella del primo e quindi stanno sulla stessa retta.
En serio: prova a immaginare che ognuna delle due parti in cui la bisettrice divide l'angolo esterno misuri 55° (110° tutto l'angolo esterno). Ne deriva che gli angoli alla base del 1° triangolo valgono 70° ciascuno, e quindi quello al vertice 40°. Ora considera la misura degli angoli alla base del secondo (55° ciascuno) e quelli alla base del terzo triangolo (vedi EDIT), anch'essi di 55°. Dando "per scontato il parallelismo delle basi e l'appartenenza delle ultime due alla stessa retta, può darsi
$55+55+40 = 180$ ?
Questo può succedere se e solo se gli angoli alla base del primo triangolo valgono 60°, cioè se lo stesso è equilatero!
Cordialmente.
Marco
Rimane sempre lo stesso problema: il parallelismo.
Ora, ripeto, gugo ha escluso si possa usare il teorema delle parallele tagliate da una trasversale con relativi angoli alterni, interni, corrispondenti, ecc. ma ciò esclude qualsiasi tecnica che usi il concetto di parallelismo? Se così non fosse, l'ho già risolto usando i parallelogrammi, se invece è così qualsiasi riferimento alle parallele è escluso.
Come detto all'inizio sarebbe necessario sapere cosa si può usare e cosa no ...
Ora, ripeto, gugo ha escluso si possa usare il teorema delle parallele tagliate da una trasversale con relativi angoli alterni, interni, corrispondenti, ecc. ma ciò esclude qualsiasi tecnica che usi il concetto di parallelismo? Se così non fosse, l'ho già risolto usando i parallelogrammi, se invece è così qualsiasi riferimento alle parallele è escluso.
Come detto all'inizio sarebbe necessario sapere cosa si può usare e cosa no ...
Il parallelismo qui......................io lo POSTULEREI!
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