Problema sui prismi 2

[carlotta1998]

un prisma retto ha per base un triangolo isoscele avente l'area di 300 cm (quadrati) e la misura della base di 30 cm,l'altezza del prisma di 9 cm calcola l'area della superficie totale e laterale del prisma. potreste rispondere con i calcoli??

[strangegirl97]

Per prima cosa dobbiamo cercare la lunghezza dell'altezza del triangolo. Usiamo la formula inversa

[math]h = \frac{2A} {b}[/math]

.

[math]h_{base} = \frac{2A} {b} = \frac{2 * 300} {30} = \frac{\no{600}^{20}} {\no{30}^1} = 20\;cm[/math]

Se tracci l'altezza relativa alla base dividerai il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli. Ognuno ha come cateti l'altezza e la metà della base e come ipotenusa un lato obliquo. Con Pitagora calcoliamone la misura:

[math]l = \sqrt{(\frac{b} {2})^2 + h_{base}^2} = \sqrt{(\frac{\no{30}^{15}} {\no2^1}) + 20^2} =\\ = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} =\\
= \sqrt{625} = 25\;cm[/math]

Il perimetro di base quindi sarà lungo 80 cm.
Per calcolare l'area laterale dovrai moltiplicare il perimetro di base per l'altezza, ed ora ti spiego perché. Tu sai che il prisma è formato da due figure congruenti (le basi) disposte su piani paralleli (= che si trovano sempre alla stessa distanza tra di loro) e da tanti rettangoli quanti sono i lati delle basi. Per calcolare l'area laterale potresti sommare le aree di questi rettangoli, così:

[math]A_l = l * h_{prisma} + l * h_{prisma} + b* h_{prisma}[/math]

Per la proprietà distributiva, però, possiamo sommare i lati della base e moltiplicare il totale per l'altezza del prisma. Sommando i lati della base però otteniamo il perimetro di base, quindi:

[math]A_l = (l + l + b) * h_{prisma} = p_b * h_{prisma}[/math]

[tiscali]

A = 300 cm^2

b = 30 cm

hp = 9 cm

Abbiamo l'area del triangolo isoscele che sta alla base che è 300 cm^2, e la sua base che è 30 cm. Dobbiamo quindi calcolare l'altezza del triangolo isoscele; e per farlo consideriamo la formula INVERSA dell'area del triangolo isoscele, ossia:

Formula normale:

[math]A = \frac{b \cdot h}{2} =[/math]

Formula inversa:

[math]h = \frac{A \cdot 2}{b} \to \frac{300 \cdot 2}{30} = \frac{600}{30} = 20 cm[/math]

Ora dividiamo la base in due e consideriamo uno dei due triangoli rettangoli:

b : 2 = 30 :2 = 15 cm

Ora mediante Pitagora, calcoliamo il lato obliquo del triangolo isoscele:

[math]\sqrt{h^2 + \frac{b}{2}^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt625 = 25 cm[/math]

Ora calcoliamo il perimetro del triangolo isoscele:

[math]P = b + 2l = 30 + 40 = 70 cm[/math]

Ora andiamo a calcolare la superficie laterale del prisma:

[math]Sl = hp \cdot Pb = 70 \cdot 9 = 630 cm^2[/math]

Ed infine, la superficie totale:

[math]St = Sl + Sb = 630 + 300 = 930 cm^2[/math]