Problema sui numeri complessi
Buonasera a tutti!
Vi propongo un problema:
"Siano $z=x+iy$ e $u=1+i$. Rappresenta nel piano complesso di Gauss l'insieme dei punti $AnnB$, con $A={zinCC| |z-u|<=sqrt2}$ e $B={zinCC| 0
Avanzo un'ipotesi. Il caso dell'insieme $A$ mi sembra quello dei punti interni ad una circonferenza (compresi i punti del contorno), avente centro nell'origine e raggio $sqrt2$. Il caso dell'insieme $B$, invece, farebbe riferimento ad un settore circolare di ampiezza $pi/6$, della medesima circonferenza. Di conseguenza l'insieme unione coinciderebbe con $B$.
Non sono certo del mio ragionamento. Potreste darmi qualche dritta?
Andrea
Vi propongo un problema:
"Siano $z=x+iy$ e $u=1+i$. Rappresenta nel piano complesso di Gauss l'insieme dei punti $AnnB$, con $A={zinCC| |z-u|<=sqrt2}$ e $B={zinCC| 0
Avanzo un'ipotesi. Il caso dell'insieme $A$ mi sembra quello dei punti interni ad una circonferenza (compresi i punti del contorno), avente centro nell'origine e raggio $sqrt2$. Il caso dell'insieme $B$, invece, farebbe riferimento ad un settore circolare di ampiezza $pi/6$, della medesima circonferenza. Di conseguenza l'insieme unione coinciderebbe con $B$.
Non sono certo del mio ragionamento. Potreste darmi qualche dritta?
Andrea
Risposte
è giusto che è una circonferenza, ma non centrata nell'origine.
Ed è giusto per quanto riguarda l'argomento, che, allora non rappresenta un settore
di quella circonferenza. Mi pare! -oggi sono scettico assai, com è salutare! sulla mia mente.
Ed è giusto per quanto riguarda l'argomento, che, allora non rappresenta un settore
di quella circonferenza. Mi pare! -oggi sono scettico assai, com è salutare! sulla mia mente.
Come fai a capire che quella dell'insieme $A$ è una circonferenza il cui centro non è l'origine?
Per quanto riguarda l'insieme $B$, allora, come lo rappresento?
Per quanto riguarda l'insieme $B$, allora, come lo rappresento?
Perchè $z-u = (x-1) +iy$.
Così $|z-u| =sqrt((x-1)^2 +y^2)$
L'equazione generale di una circonferenza.
in OXY è $(x-x_c)^2 +(y-y_c)^2 =r^2$, dove $(x_c,y_c)$ sono le coordinate del centro, $r$ il raggio.
Così i punti del cerchio con centro nel piano di Gauss $(1,0)$ sono gli elementi di $A$.
Così $|z-u| =sqrt((x-1)^2 +y^2)$
L'equazione generale di una circonferenza.
in OXY è $(x-x_c)^2 +(y-y_c)^2 =r^2$, dove $(x_c,y_c)$ sono le coordinate del centro, $r$ il raggio.
Così i punti del cerchio con centro nel piano di Gauss $(1,0)$ sono gli elementi di $A$.
Allora in riferimento a $B$ si può dire che è un angolo di vertice l'origine e di ampiezza $pi/6$? Volendo calcolare l'area dell'insieme $AnnB$ come posso fare? (Il testo dell'esercizio, che non ho riportato nella sua versione integrale, chiede di calcolare l'area di cui sopra)...
per quanto riguarda l'insieme $B$, ci sto pensando! solo che
tra 5 minuti dovrò lasciare il computer, se mi viene in mente, lo scrivo.
tra 5 minuti dovrò lasciare il computer, se mi viene in mente, lo scrivo.
Ok grazie! Se non chiedo troppo, dai un'occhiata anche al discorso dell'area e vediamo cosa viene fuori...!
mi posso sbagliare, ma come per A si parla di |z-u|, anche l'argomento citato in B è relativo non a z ma a (z-u), per cui B dovrebbe essere un angolo di vertice u, e l'intersezione dovrebbe essere un settore circolare, senza il "lato orizzontale", con il lato obliquo e con l'arco. prova a rifletterci su. ciao.
Perchè l'angolo dovrebbe avere vertice in $u$?
Chiedo scusa a tutti! neppure
correggo miei precedente messaggi, così si vedrà che avevo ragione ad essere scettico.
Non avevo considerato che $B$ non è l'insieme dei complessi con argomento tra $0$ escluso e $\pi/6$ incluso.
ma l'insieme dei numeri $z$ tali che l'argomento di $(z-u)$ sia quello.
Nonchè! $A$ non è centrato in $(1,0)$ ma ... in $u$.
E l'intersezione è quel settore circolare, come dice adaBTTLS.
(questa è già la terza che mi succede, oggi).
Il ragionamento sul cerchio è corretto: giusto che...
la parte immaginaria du $u$ non è $0$!.
Spero di non aver fatto troppa confusione.
Non starei male a stare con i piedi e la testa nello stesso posto allo stesso stesso tempo.
Riprendo,con calma:
$z\inA$ sono i complessi
elementi di un cerchio con centro $u$.
E$z\inB$ sono i complessi elementi di un angolo /di vertice$u$, e di una semiretta d'estremo $u$,senza quel puntostesso.
Uhff.
Bye.
.
correggo miei precedente messaggi, così si vedrà che avevo ragione ad essere scettico.
Non avevo considerato che $B$ non è l'insieme dei complessi con argomento tra $0$ escluso e $\pi/6$ incluso.
ma l'insieme dei numeri $z$ tali che l'argomento di $(z-u)$ sia quello.
Nonchè! $A$ non è centrato in $(1,0)$ ma ... in $u$.
E l'intersezione è quel settore circolare, come dice adaBTTLS.
(questa è già la terza che mi succede, oggi).
Il ragionamento sul cerchio è corretto: giusto che...
la parte immaginaria du $u$ non è $0$!.
Spero di non aver fatto troppa confusione.
Non starei male a stare con i piedi e la testa nello stesso posto allo stesso stesso tempo.
Riprendo,con calma:
$z\inA$ sono i complessi
elementi di un cerchio con centro $u$.
E$z\inB$ sono i complessi elementi di un angolo /di vertice$u$, e di una semiretta d'estremo $u$,senza quel puntostesso.
Uhff.
Bye.
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perché parla di $arg(z-u)$, e il vettore $z-u$ è quello che parte da $u$ e va a finire in $z$. non ricordo come lo si definiva, ma non credo che sia in contraddizione con questo.
Cerchiamo di fare il punto della situazione perchè comincio a non avere più punti di riferimento!
1) Abbiamo constatato che la circonferenza ha un centro distinto dall'origine. Possiamo determinarlo o non abbiamo condizioni sufficienti?
2) Dal punto di vista grafico come traccio l'insieme $A$ e l'insieme $B$ dal momento che oltre alle variabili $x$ e $y$ ho l'unità immaginaria $i$?
3) Per quanto riguarda l'area, a questo punto è necessario realizzare il grafico dell'insieme $AnnB$ o si può dedurre con considerazioni che, tuttavia, mi sfuggono?
Mi scuso se risulto particolarmente pedante, ma nei problemi di Analisi vado molto a fondo con le osservazioni per avere chiara la situazione...
1) Abbiamo constatato che la circonferenza ha un centro distinto dall'origine. Possiamo determinarlo o non abbiamo condizioni sufficienti?
2) Dal punto di vista grafico come traccio l'insieme $A$ e l'insieme $B$ dal momento che oltre alle variabili $x$ e $y$ ho l'unità immaginaria $i$?
3) Per quanto riguarda l'area, a questo punto è necessario realizzare il grafico dell'insieme $AnnB$ o si può dedurre con considerazioni che, tuttavia, mi sfuggono?
Mi scuso se risulto particolarmente pedante, ma nei problemi di Analisi vado molto a fondo con le osservazioni per avere chiara la situazione...
$u=1+i$ è il centro. in $RR^2$ sarebbe il punto $(1,1)$. a partire da queto punto devi considerare il cerchio di raggio $sqrt2$, ed anche l'angolo compreso tra le due semirette aventi quel punto come origine, una orizzontale (semiretta positiva) e una con coefficiente angolare $sqrt3/3=tg(pi/6)$, anch'essa da $(1,1)$ verso "l'alto". l'intersezione tra il cerchio e l'angolo è il settore circolare.
Già va meglio... dovrei capire adesso alcuni meccanismi di fondo.
1) Abbiamo detto che $u=1+i$ è il centro. Come lo posso motivare? Come deduco, altresì, che in $RR^2$ rappresenta il punto $(1;1)$?
2) Come mi rendo conto che la circonferenza di cui abbiamo parlato ha centro in $(1;1)$?
3) In che senso la semiretta orizzontale è "positiva"?
Mi scuso ancora per il disturbo!
1) Abbiamo detto che $u=1+i$ è il centro. Come lo posso motivare? Come deduco, altresì, che in $RR^2$ rappresenta il punto $(1;1)$?
2) Come mi rendo conto che la circonferenza di cui abbiamo parlato ha centro in $(1;1)$?
3) In che senso la semiretta orizzontale è "positiva"?
Mi scuso ancora per il disturbo!
u è un punto noto, z è un punto (numero complesso) incognito.
qual è il luogo geometrico dei punti tali che la distanza da u sia radice di 2?
poi, un numero complesso si scrive $z=x+iy$, e le coordinate nel piano sono $(x,y)$.
$u=1+i$ significa che u è un numero complesso con parte reale $x=1$ e con parte immaginaria $y=1$.
"semiretta orizzontale positiva" si intende la semiretta che a partire dall'origine (di ascissa 1) va "verso destra", cioè con valori delle ascisse maggiori rispetto all'origine (cioè maggiori di 1).
devi costruire un angolo di 30° a partire dal punto (1,1), come se avessi l'origine traslata in quel punto. come lo vedi l'angolo?
qual è il luogo geometrico dei punti tali che la distanza da u sia radice di 2?
poi, un numero complesso si scrive $z=x+iy$, e le coordinate nel piano sono $(x,y)$.
$u=1+i$ significa che u è un numero complesso con parte reale $x=1$ e con parte immaginaria $y=1$.
"semiretta orizzontale positiva" si intende la semiretta che a partire dall'origine (di ascissa 1) va "verso destra", cioè con valori delle ascisse maggiori rispetto all'origine (cioè maggiori di 1).
devi costruire un angolo di 30° a partire dal punto (1,1), come se avessi l'origine traslata in quel punto. come lo vedi l'angolo?
In che senso "come vedo l'angolo"?
Lo immagino spazzato dalla semiretta positiva orizzontale in senso antiorario..... giusto?
Lo immagino spazzato dalla semiretta positiva orizzontale in senso antiorario..... giusto?
esattamente questo. e come descriveresti la semiretta iniziale e quella finale?
Sarebbero i lati dell'angolo di vertice $(1;1)$. Dovendo considerare l'insieme definito da $AnnB$ deduco che saranno raggi della circonferenza descritta da $A$. Allora l'insieme $AnnB$ non è altro che il settore circolare, giusto? Se così fosse l'area richiesta (di cui ho parlato prima) è di immediato calcolo...
Un'ultima domanda: perchè nella definizione di $B$ è escluso lo $0$ ed invece è incluso $pi/6$. A fini del calcolo dell'area influisce in qualche modo?
Un'ultima domanda: perchè nella definizione di $B$ è escluso lo $0$ ed invece è incluso $pi/6$. A fini del calcolo dell'area influisce in qualche modo?
sì, se io ho parlato di angolo è perché mi riferivo a B.
l'area, con o senza perimetro, è uguale.
l'area, con o senza perimetro, è uguale.
Ok, ora mi è tutto chiaro. Tuttavia calcolando l'area della regione di piano delimitata da $AnnB$ (quindi del settore) ottengo $pi/6$ contrariamente al risultato riportato nel libro che è $pi/3$. Perchè?
eh, sì, ho il sospetto che vada considerato anche l'altro angolo, quello opposto al vertice, perché se $z$ appartiene ad esso vale anche $0
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