Problema sui numeri complessi

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Vi propongo un problema:

"Siano $z=x+iy$ e $u=1+i$. Rappresenta nel piano complesso di Gauss l'insieme dei punti $AnnB$, con $A={zinCC| |z-u|<=sqrt2}$ e $B={zinCC| 0
Avanzo un'ipotesi. Il caso dell'insieme $A$ mi sembra quello dei punti interni ad una circonferenza (compresi i punti del contorno), avente centro nell'origine e raggio $sqrt2$. Il caso dell'insieme $B$, invece, farebbe riferimento ad un settore circolare di ampiezza $pi/6$, della medesima circonferenza. Di conseguenza l'insieme unione coinciderebbe con $B$.
Non sono certo del mio ragionamento. Potreste darmi qualche dritta?

Andrea

[Andrea902]

Sì. Seguo questo procedimento:

$area=pir^2alpha/360$, nel nostro caso essendo $alpha=pi/6=30$ ottengo: $area=(sqrt2)^2pi*30/360=2pi/12=pi/6$.

Perchè?

[adaBTTLS1]

sì, me ne sono accorta. ho corretto. ciao.

[Andrea902]

Non ho capito perchè bisogna considerare anche l'angolo opposto al vertice...

[adaBTTLS1]

io veramente ci pensavo dall'inizio, ma poi ho desistito. se prendi z in quel settore, che valore dai ad $arg(z-u)$ ?

[Andrea902]

In che senso? L'argomento varia da $0$ a $pi/6$ ma forse non ho capito la domanda...

[adaBTTLS1]

l'argomento della differenza!
vorresti dire che l'angolo opposto al vertice non misura anch'esso 30° ? e allora perché non considerarlo?
questo, considerando ad esempio un angolo di 180° e uno di 210° (210-180=30)....

ma c'è un'altra interpretazione, che però cambia completamente il problema: si arriva ad un angolo di 60°, però l'area di $AnnB$ in tal caso sarebbe $pi/3+sqrt6$. l'interpretazione sarebbe questa: $arg(u)=pi/4$, dunque $pi/4 poiché la circonferenza con centro $(1,1)$ e raggio $sqrt2$ passa per l'origine, l'angolo ($B$) è quello compreso tra 45° e 75°, e la parte in comune con il cerchio è appunto un triangolo isoscele con angoli alla base di di 30° e lati obliqui due raggi, con un settore circolare ampio 60°. ti torna?

EDIT: quest'ultima interpretazione è sbagliata perché è stata considerata la differenza dei due argomenti e non l'argomento della differenza dei due numeri complessi ($z-u$). si può tornare a perfezionare la prima idea.

[Andrea902]

"adaBTTLS":la parte in comune con il cerchio è appunto un triangolo isoscele con angoli alla base di di 30° e lati obliqui due raggi, con un settore circolare ampio 60°

In che senso?
In generale, in riferimento al nostro problema consideriamo l'angolo opposto al vertice SOLO perchè ha la stessa ampiezza di quello di partenza?

[adaBTTLS1]

il considerare i due angoli opposti al vertice corrisponde al prendere (1,1) come nuova origine, e come "angolo" quello spazzato dall'intera retta $y=1$ nel ruotare intorno a $(1,1)$ di $pi/6$ ...
io però comincio a pensare che non sia corretto. prova a fare un grafico, disegna la circonferenza che passa per l'origine $(0,0)$ e che ha centro in $(1,1)$.
traccia la semiretta che parte da $(0,0)$ e che passa per $(1,1)$. qual è l'argomento di u? allora come deve essere l'argomento di z? allora a quale angolo deve appartenere z?

[Andrea902]

Ho fatto un disegno della situazione. In effetti le parti comuni sono due: il settore di cui abbiamo parlato e il corrispondente determinato dall'angolo opposto al vertice. In linea di principio, se consideriamo tale situazione l'area viene proprio $pi/3$. L'unica cosa che mi induce a non essere precipitoso è la definizione di $B$ data nel testo, secondo cui l'angolo può variare da $0$ a $pi/6$. Secondo tale dichiarazione dell'estensore del problema, dovremmo considerare solo il settore iniziale, o sbaglio?
In ogni caso perchè abbiamo tracciato la semiretta che parte da $(0;0)$? Attenendoci alle indicazioni del problema, non dovevamo riferirci al nuovo sistema di assi la cui origine è $(1;1)$?

C'è qualcosa che non mi torna...

[adaBTTLS1]

urge ricordare il testo del problema:

"Andrea90":Buonasera a tutti!

Vi propongo un problema:

"Siano $z=x+iy$ e $u=1+i$. Rappresenta nel piano complesso di Gauss l'insieme dei punti $AnnB$, con $A={zinCC| |z-u|<=sqrt2}$ e $B={zinCC| 0
...
Andrea

qui si dimentica troppo spesso che nella definizione di $B$ c'è $arg(z-u)$ che deve essere compreso tra 0 e30°, e non $arg(z)$, mentre su $arg(z)$ devi trovare le condizioni: quanto deve valere $arg(z)$ se $u=1+i$ e $arg(z-u) in (0, pi/6]$ ?

[adaBTTLS1]

visto che mi sono accorta di aver creato confusione con la differenza degli argomenti, mi permetto di cambiare totalmente punto di vista per cercare di giustificare in altro modo il fatto che venga l'unione di due settori circolari.
$z-u=(x-1)+(y-1)i -> arg(z-u)=arctg((y-1)/(x-1))$
dalle condizioni imposte dal problema si ha $0 0<(y-1)/(x-1)<=sqrt3/3$
svolgendo i calcoli, si ha:
$x>1 -> (y>1 ^^ y<=sqrt3/3x+1-sqrt3/3)$
$x<1 -> (y<1 ^^ y>=sqrt3/3x+1-sqrt3/3)$
considera che la retta $y=sqrt3/3x+1-sqrt3/3$ passa per il punto $(1,1)$

[Andrea902]

Ok. Ora credo che ci siamo. Il ragionamento ora proposto mi ha convinto. Resterebbe così giustificata la scelta dei due settori circolari.
In ogni caso il fatto che nel testo del problema non sia stato incluso lo $0$ (mi riferisco all'insieme $B$) non è influente?

[adaBTTLS1]

è come nell'altro caso (quando parlavamo di un settore): manca un pezzo del perimetro, ma l'area non cambia.

[Andrea902]

Perfetto. Un'ultimissima cosa. La consegna del quesito richiede di rappresentare l'insieme dei punti $AnnB$ nel piano di Argand-Gauss. Ma in base al ragionamento che abbiamo svolto, non ci stiamo riferendo al piano cartesiano?

[adaBTTLS1]

non ho mai sentito chiamare così il piano complesso, però io l'ho visto sempre rappresentato come isomorfo a $RR^2$, dove $x$ ed $y$ rappresentavano le parti reali ed immaginarie...
se è così, basta prendere il punto $(1,1)$, la circonferenza con centro $(1,1)$ e passante per l'origine e le due rette $y=1$ e $y=sqrt3/3x+1-sqrt3/3$ ...

[Andrea902]

Anche io so che il piano complesso è isomorfo a $RR^2$ ma mi sto adattando alla teoria del libro da cui ho tratto l'esercizio...

In poche parole non cambia nulla, giusto?

[G.D.5]

Il piano AG è un piano cartesiano.

[Andrea902]

E allora il ragionamento sin ora illustrato è riferito al piano AG? O bisogna adattare i grafici? Non mi è chiaro questo punto...

[G.D.5]

E perché dovresti adattatare i grafici? $CC$ è $RR^{2}$ se lo introduci come insieme di coppie, ed è isomorfo a $RR^{2}$ se lo introduci come ampliamento delle soluzioni formali di $x^{2}+1=0$ o come chiusura di $RR$.

[Andrea902]

Ok. Ora mi è tutto chiaro. Vi ringrazio per le risposte!

Andrea