Problema sui luoghi geometrici
Salve a tutti
Sono alle prese con il seguente problema:
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x;y) sia S il punto di coordinate $(0;4)$ e P un punto della retta r di equazione $2x-y-2=0$; sia n la retta per S perpendicolare alla congiungente di S con P, Q è il punto di intersezione della retta n con la retta q parallela all'asse y e passante per P.
Si trovi l'equazione cartesiana del luogo G descritto da Q al variare di P su r.
Si tratta di un triangolo rettangolo che ruota attorno al vertice (punto S) dell'angolo di $90°$.
Indico con $x$ l'angolo formato dal segmento $SP$ con la retta passante per $S$ e parallela all'asse delle ascisse.
Lintervallo di variabilità dovrebbe essere: $0
Ascissa del punto $P=x_0=SP*\cos(x)$
Ordinata del punto $P=y_0=SP*\sin(x)+4$
Lunghezza del segmento $PQ=SP/\sin(x)$
Ordinata del punto $Q=PQ-P*\sin(x)+4$
Adesso dovrei scrivere l'equazione del luogo, però mi sembra di essere finito in un vicolo cieco.
Grazie se qualcuno mi fornirà dei consigli.
Giovanni C.
Sono alle prese con il seguente problema:
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x;y) sia S il punto di coordinate $(0;4)$ e P un punto della retta r di equazione $2x-y-2=0$; sia n la retta per S perpendicolare alla congiungente di S con P, Q è il punto di intersezione della retta n con la retta q parallela all'asse y e passante per P.
Si trovi l'equazione cartesiana del luogo G descritto da Q al variare di P su r.
Si tratta di un triangolo rettangolo che ruota attorno al vertice (punto S) dell'angolo di $90°$.
Indico con $x$ l'angolo formato dal segmento $SP$ con la retta passante per $S$ e parallela all'asse delle ascisse.
Lintervallo di variabilità dovrebbe essere: $0
Ascissa del punto $P=x_0=SP*\cos(x)$
Ordinata del punto $P=y_0=SP*\sin(x)+4$
Lunghezza del segmento $PQ=SP/\sin(x)$
Ordinata del punto $Q=PQ-P*\sin(x)+4$
Adesso dovrei scrivere l'equazione del luogo, però mi sembra di essere finito in un vicolo cieco.
Grazie se qualcuno mi fornirà dei consigli.
Giovanni C.
Risposte
Nel procedimento che hai adottato ci sono molte cose che non capisco, soprattutto perché ti metti a cercare la lunghezza dei segmenti, quando il testo parla di rette e quindi di equazioni.
Comincerei il problema dal punto P, il quale, siccome deve appartenere alla retta $r$, ha una sola coordinata libera.
Ho posto $P(x_0, 2x_0-2)$, poi coefficiente angolare della retta PS, quindi coefficiente angolare della perpendicolare e fascio di rette per S con il coefficiente angolare appena trovato, e così si ha la retta $n$.
La retta $q$ passa per P ed è parallela all'asse y, quindi ha equazione $x=x_0$.
Mettendo a sistema le due rette si ottiene Q che, se non ho fatto errori di calcolo, è $(x_0, (x_0(x_0-4))/(6-2x_0))$ il luogo si ottiene rendendo variabili le coordinate di Q, quindi $y=(x^2-4x)/(6-2x)$ e si tratta di un'iperbole.
Comincerei il problema dal punto P, il quale, siccome deve appartenere alla retta $r$, ha una sola coordinata libera.
Ho posto $P(x_0, 2x_0-2)$, poi coefficiente angolare della retta PS, quindi coefficiente angolare della perpendicolare e fascio di rette per S con il coefficiente angolare appena trovato, e così si ha la retta $n$.
La retta $q$ passa per P ed è parallela all'asse y, quindi ha equazione $x=x_0$.
Mettendo a sistema le due rette si ottiene Q che, se non ho fatto errori di calcolo, è $(x_0, (x_0(x_0-4))/(6-2x_0))$ il luogo si ottiene rendendo variabili le coordinate di Q, quindi $y=(x^2-4x)/(6-2x)$ e si tratta di un'iperbole.
Grazie per le indicazioni, mi erro accorto di aver fatto, inutilmente, molta confusione.
Giovanni C.
Giovanni C.
Ho provato a rifare i calcoli ed ho ottenuto questo risultato:
coefficiente angolare della retta $n$ perpendicolare alaa $SP$: $m=x_0/(6-2x_0)$
Equazione della retta $n$: $ y-4=x_0/(6-2x_0)x$
La retta verticale ha equazione $x=x_0$
mettendo a sistema si ottiene l'equazione del luogo:
$y=x^2/(6-2x)+4 \to y=(x^2-8x+24)/(6-2x)$
Spero di non avere sbagliato ancora.
Grazie comunque per le indicazioni, mi sono state utilissime.
Giovanni C.
coefficiente angolare della retta $n$ perpendicolare alaa $SP$: $m=x_0/(6-2x_0)$
Equazione della retta $n$: $ y-4=x_0/(6-2x_0)x$
La retta verticale ha equazione $x=x_0$
mettendo a sistema si ottiene l'equazione del luogo:
$y=x^2/(6-2x)+4 \to y=(x^2-8x+24)/(6-2x)$
Spero di non avere sbagliato ancora.
Grazie comunque per le indicazioni, mi sono state utilissime.
Giovanni C.
Hai ragione ho sbagliato io i calcoli
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo