Problema sui limiti
Salve a tutti,non riesco ad andare avanti con questo problema,potete darmi una mano per favore?
Sia data la parabola di vertice V(-1;-3) passante per l'origine e la retta r passante per i punti A(0;-6) e B(-4;0).Preso sull'arco di parabola situato nel terzo quadrante un punto P di ascissa $beta$ e dette H e K le sue proiezioni rispettivamente sulla retta r e sulla perpendicolare a r passante per A,calcola il limite
$lim_(beta->0)(PH)/(PK)$. Quale sarebbe il limite per $beta->-infty$.
Prima di tutto ho calcolato l'equazione della parabola che esce y=$3x^2+6x$ e poi l'equazione della retta r e della retta perpendicolare a r(che chiamerò s) che escono rispettivamente r:y=$-3/2x-6$ e s:y=$2/3x-6$. Ora avevo pensato di calcolare la retta passante per P perpendicolare a r e s e poi mettere sistema con le rette r ed s per trovare i punti di interzezione e poi calcolare la distanza tra due punti,ma non riesco a proseguire poichè di P ho solo la x come devo fare?
grazie per l'aiuto
Sia data la parabola di vertice V(-1;-3) passante per l'origine e la retta r passante per i punti A(0;-6) e B(-4;0).Preso sull'arco di parabola situato nel terzo quadrante un punto P di ascissa $beta$ e dette H e K le sue proiezioni rispettivamente sulla retta r e sulla perpendicolare a r passante per A,calcola il limite
$lim_(beta->0)(PH)/(PK)$. Quale sarebbe il limite per $beta->-infty$.
Prima di tutto ho calcolato l'equazione della parabola che esce y=$3x^2+6x$ e poi l'equazione della retta r e della retta perpendicolare a r(che chiamerò s) che escono rispettivamente r:y=$-3/2x-6$ e s:y=$2/3x-6$. Ora avevo pensato di calcolare la retta passante per P perpendicolare a r e s e poi mettere sistema con le rette r ed s per trovare i punti di interzezione e poi calcolare la distanza tra due punti,ma non riesco a proseguire poichè di P ho solo la x come devo fare?
grazie per l'aiuto
Risposte
Sai che P sta sulla parabola, quindi le sue coordinate sono $P(beta, 3beta^2+6beta)$. Il metodo che indichi per calcolare i segmenti è giusto, ma è più veloce calcolarli come distanza di un punto da una retta.
giusto,ora provo
PH mi esce $|-15/2beta-3beta^2|/(sqrt(13)/2)$ come vado avanti,ho un pò di confusione
La formula per la distanza richiede che l'equazione della retta sia in forma implicita: r ha quindi equazione $3x+2y+6=0$. Ne consegue
$PH=(|3beta+6beta^2+12beta+6|)/sqrt(9+4)=(|6beta^2+15beta+6|)/sqrt13$
Nello stesso modo calcoli PK, poi fai il rapporto. Per l limite, basta ricordare che il limite di un valore assoluto è il valor assoluto del limite (se quest'ultimo esiste, ed è il tuo caso). Mi sembra strano che non si ottenga una forma indeterminata, ma nessuna regola lo impedisce. Altre stranezze: l'ipotesi che P sia nel terzo quadrante è del tutto superflua e, accettandola, diventa impossibile che $beta$ tenda a $-oo$. Forse hai fatto qualche errore nel riportare il testo.
$PH=(|3beta+6beta^2+12beta+6|)/sqrt(9+4)=(|6beta^2+15beta+6|)/sqrt13$
Nello stesso modo calcoli PK, poi fai il rapporto. Per l limite, basta ricordare che il limite di un valore assoluto è il valor assoluto del limite (se quest'ultimo esiste, ed è il tuo caso). Mi sembra strano che non si ottenga una forma indeterminata, ma nessuna regola lo impedisce. Altre stranezze: l'ipotesi che P sia nel terzo quadrante è del tutto superflua e, accettandola, diventa impossibile che $beta$ tenda a $-oo$. Forse hai fatto qualche errore nel riportare il testo.
scusa per l'erroe ma sono due anni che nn faccio geometria analitica e sono un pò arruginito. Arrivo a questo punto: $lim_(beta->0)(|6beta^2+15beta+6|)/(|9beta^2+16beta+6|)$,ora? sono agli inizi con i problemi
Non è una forma indeterminata: numeratore e denominatore sono normali funzioni continue, entrambe tendenti a $6$, quindi il limite è $6/6=1$.
In vista di eventuali altri problemi più complicati, calcolo un limite simile al precedente; si applica il fatto che $(|a|)/(|b|)=|a/b|$.
$lim_(x->1)(|x^2+2x-3|)/(|x^2-1|)=lim_(x->1)|((x-1)(x+3))/((x-1)(x+1))|=|lim_(x->1)(x+3)/(x+1)|=|4/2|=2$
In vista di eventuali altri problemi più complicati, calcolo un limite simile al precedente; si applica il fatto che $(|a|)/(|b|)=|a/b|$.
$lim_(x->1)(|x^2+2x-3|)/(|x^2-1|)=lim_(x->1)|((x-1)(x+3))/((x-1)(x+1))|=|lim_(x->1)(x+3)/(x+1)|=|4/2|=2$
quindi esce 1? perchè ero arrivato pure io a questo risultato solo che il libro porta $2/3$,mentre per la seconda richiesta?
Hai sbagliato una delle due distanze punto-retta.
Ho già notato in passato che questo esercizio presenta numerose stranezze, tanto da far pensare alla presenza di qualche errore nel testo; non posso certo sapere se l'errore è del libro o della tua trascrizione. In presenza di errori è tutto possibile ed è improbabile che i risultati coincidano; ti conviene rileggere il libro con la massima attenzione.
Per la seconda richiesta, il limite in questione si calcola con una semplice applicazione delle regole e quindi non ti scrivo i calcoli; il risultato è $2/3$.
Per @melia: hai ragione; mi era sfuggito perché (lo confesso) avevo fatto il suo stesso identico errore. Cambia quindi il primo limite ma non il secondo.
Per la seconda richiesta, il limite in questione si calcola con una semplice applicazione delle regole e quindi non ti scrivo i calcoli; il risultato è $2/3$.
Per @melia: hai ragione; mi era sfuggito perché (lo confesso) avevo fatto il suo stesso identico errore. Cambia quindi il primo limite ma non il secondo.
ho controllato, ho trascritto come riportava il libro,ti ho scritto sulla seconda richiesta perchè in precedenza mi avevi detto che diventa impossibile che β tenda a -∞.
Ho solo detto che questo fatto contrasta con l'ipotesi che P sia nel terzo quadrante; togliendo quell'ipotesi (che non serve a niente) la cosa diventa possibilissima.
ok,il problema mi esce eccetto per la prima richiesta,un'ultima cosa mi puoi spiegare perchè $beta->-infty$?
Detto così, l'unico motivo è che quella è la domanda fatta. Forse volevi chiedere perché lo ritenevo incompatibile con l'ipotesi di essere nel terzo quadrante; per questo osserva la figura. Noti subito che i punti della parabola in questo quadrante hanno ascissa compresa fra -2 e 0; per avere ascisse inferiori a questi valori (e lo sono di certo se $beta->-oo$) devi prendere punti del secondo quadrante.
ok,ho capito grazie mille per l'aiuto e scusa il disturbo
Prego, di niente.
scusa ancora,qual è l'errore della distanza punto retta?
L'errore è partito da me e quindi è sbagliata anche la prima distanza; tu mi hai seguito, sbagliando pure la seconda. Probabilmente @melia ha controllato solo i tuoi calcoli (grazie per la fiducia, in questo caso mal riposta) ed un'unica correzione non bastava per ottenere il risultato del libro, che è giusto.
Facendo bene i conti, l'equazione di r è $2y+3x+12=0$ e quella di s è $3y-2x+18=0$, quindi
$lim_(beta->0)(PH)/(PK)=lim_(beta->0)(|6beta^2+15beta+12|)/(|9beta^2+16beta+18|)=|12/18|=2/3$
Facendo bene i conti, l'equazione di r è $2y+3x+12=0$ e quella di s è $3y-2x+18=0$, quindi
$lim_(beta->0)(PH)/(PK)=lim_(beta->0)(|6beta^2+15beta+12|)/(|9beta^2+16beta+18|)=|12/18|=2/3$
ok,poi sono riuscito a trovarlo grazie per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo