Problema su triangolo con vertice nel centro di un cerchio

[NM81]

In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da r, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due A e B, sulla circonferenza, in modo che la somma della base AB e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da a, supponendo a<2r .

Ho chiamato l'angolo nel centro del cerchio $2x$, e ho individuato il dominio di $x$ nell'intervallo $]0; 90°[$

Ho potuto così scrivere la disequazione risolutiva
$2r sen(x) + r cos(x) -2r < 0$

sfruttando l'identità fondamentale della trigonometria $sen^2(x) + cos^2(x) = 1$ ho trasformato il coseno, dopodiché ho rimosso la costante $r$ e svolto i calcoli sino ad ottenere
$5 sen^2(x) -8 sen(x) + 3 < 0$
$(sen(x) - 3/5)(sen(x)-1) < 0$
Risolvendola ed intersecandola con il dominio ottengo $36,869° < x < 90°$, Tuttavia tentando di verificare il risultato ho però scoperto che questo intervallo contiene esattamente i valori non accettabili al fine del raggiungimento della tesi, e che quindi la corretta soluzione dovrebbe essere $0 < x < 36.869$. Dove sbaglio? Grazie in anticipo.

[@melia]

La disequazione, corretta, che hai ricavato $2r sin(x) + r cos(x) -2r < 0$ è una disequazione lineare, usare la relazione fondamentale per ricavare il coseno significa impantanarsi in una doppia disequazione irrazionale, cosa che sconsiglio caldamente. Le disequazioni lineari hanno vari metodi risolutivi, tra questi non è contemplato quello che hai usato.
Propongo, intanto, di dividere tutto per $2r$ che è una costante positiva
$ sin(x) +1/2 cos(x) -1 < 0$,
poi detto $alpha$ l'angolo acuto la cui tangente vale $1/2$, la disequazione diventa
$ sin(x) +tan alpha * cos(x) -1 < 0$
adesso moltiplico tutto per $cos alpha$
$sin x *cos alpha + sin alpha * cos x < cos alpha $
il primo membro è lo sviluppo del $sin(x+alpha)$ mentre il secondo membro, per le formule sugli archi associati, vale $cos alpha=sin (90-alpha)$, perciò sostituendo si ottiene
$sin(x+alpha) Nel primo quadrante (condizione di esistenza del problema) il seno è una funzione crescente, quindi mantiene le disuguaglianza per cui
$x+alpha<90-alpha$ ovvero $x< 90 - 2*alpha$ che messo a sistema con le condizioni del problema dà la soluzione
$0 Sapendo che $alpha=26°,565$ si ottiene $90- 2*alpha=36°,87$ da cui $0

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[NM81]

Ti ringrazio per la tua risposta, ho capito il procedimento Tuttavia sarei curioso di scoprire precisamente qual è l'errore che ho commesso io, procedendo così:

$2r sen(x) + r cos(x) -2r < 0$
$2 sen(x) + (1 - sen^2(x))^(1/2) -2 < 0 $
$(2 sen(x) -2)^2 < (-(1 - sen^2(x))^(1/2))^2 $
$5 sen^2(x) -8 sen(x) + 3 < 0$
$(sen(x) - 3/5)(sen(x)-1) < 0$

Suppongo l'errore sia sul terzo passaggio, ma non riesco a vederne l'illogicità, e conseguentemente non capisco come possa portare il tutto ad un risultato sbagliato.

[@melia]

Quando arrivi alla forma $2 sin(x) -2 < -sqrt(1-sin^2(x))$ non puoi elevare alla seconda perché i termini non sono entrambi positivi, anzi sono entrambi negativi.

Quando non hai la positività di entrambi i termini può succedere di tutto:
- se sono entrambi negativi come $-5< -3$ elevando alla seconda cambia il verso, infatti $25>9$;
- se i termini sono di segno diverso non sai neanche se elevando alla seconda il segno di disequazione resta lo stesso o cambia, ad esempio: $-5< +3$ elevando al quadrato cambia il verso, ma $-3< +5$ anche se elevato al quadrato mantiene il verso.

Credo che sia utile un ripassino sulle disequazioni irrazionali.

[NM81]

Accidenti è vero, me ne sarei dovuto accorgere!
Grazie mille per la risposta Si, un ripassino potrebbe giovarmi, avresti per caso qualche link ad esercizi di tale tipologia?