Problema su teorema della corda
Ho questo problema che mi sta intrippando la testa: una semicirconferenza ha diametro $AB=4$ e la corda $BC=2$. Sia $P$ un punto dell'arco $AC$. Considera $D$ la sua proiezione sulla tangente in $A$ ed $E$ quella su $AC$, poni $PAC=x$ e determina la funzione $f(x)=PD+2PE$. Ho fatto il disegno su geogebra e lo posto qua alle volte che non mi sia sbagliato.
Ho iniziato a ragionare così: nel triangolo $ACB$ l'angolo in $C$ è retto quindi per la corda $CB$ vale la relazione: $BC=ABsinx$ da cui ricavo che $x$ può solo essere $30°$ visto che è acuto, quindi l'angolo in $B$ è $60°$, poi trovo che $AC=ABcosx$ e trovo che $AC=2sqrt(3)$, poi però non so che strada prendere per detminare $PD$ e $PE$. Noto che entrambe sono corde ma non capisco a quale angolo devo fare riferimento nella formula del teorema della corda $PD = 2r*sinalpha$ ovvero non sò quale dovrebbe essere $alpha$. Potreste darmi una mano per favore?
Ho iniziato a ragionare così: nel triangolo $ACB$ l'angolo in $C$ è retto quindi per la corda $CB$ vale la relazione: $BC=ABsinx$ da cui ricavo che $x$ può solo essere $30°$ visto che è acuto, quindi l'angolo in $B$ è $60°$, poi trovo che $AC=ABcosx$ e trovo che $AC=2sqrt(3)$, poi però non so che strada prendere per detminare $PD$ e $PE$. Noto che entrambe sono corde ma non capisco a quale angolo devo fare riferimento nella formula del teorema della corda $PD = 2r*sinalpha$ ovvero non sò quale dovrebbe essere $alpha$. Potreste darmi una mano per favore?
Risposte
Nessuna idea? 
Premetto 2 suggerimenti:
- riguardati la definizione di corda perché né PD né PE sono corde
- come ebbi a dirti già una cinquantina di volte, traccia un disegno il più generico possibile, altrimenti rischi di confonderti. Nella fattispecie il punto P è praticamente il punto medio dell'arco AC, il che può farti prendere fischi per fiaschi. Lascia a me i secondi.
Ora cerco di darti una mezza dritta, in modo che il problema lo possa risolvere tu. L'unica corda che ti interessa, a mio avviso, è PA, che puoi ricavare con il teorema della corda. Trovati tutti gli angoli della figura in funzione di x e ricorda che l'angolo che sottende la corda è quello alla circonferenza.
Trovato PA sei a buon punto. Con i teoremi sui triangoli rettangoli (in questo caso ADP e APE) trovi le lunghezze dei segmenti PD e PE e voilà, il gioco è fatto.
A proposito del disegno, ti posto qui sotto quello che avrei fatto io:
Fammi sapere.
Marco
- riguardati la definizione di corda perché né PD né PE sono corde
- come ebbi a dirti già una cinquantina di volte, traccia un disegno il più generico possibile, altrimenti rischi di confonderti. Nella fattispecie il punto P è praticamente il punto medio dell'arco AC, il che può farti prendere fischi per fiaschi. Lascia a me i secondi.
Ora cerco di darti una mezza dritta, in modo che il problema lo possa risolvere tu. L'unica corda che ti interessa, a mio avviso, è PA, che puoi ricavare con il teorema della corda. Trovati tutti gli angoli della figura in funzione di x e ricorda che l'angolo che sottende la corda è quello alla circonferenza.
Trovato PA sei a buon punto. Con i teoremi sui triangoli rettangoli (in questo caso ADP e APE) trovi le lunghezze dei segmenti PD e PE e voilà, il gioco è fatto.
A proposito del disegno, ti posto qui sotto quello che avrei fatto io:
Fammi sapere.
Marco
Si, in effetti quelle non sono corde, per trovare la corda $AP$ faccio: $AP=2rsin(pi/2-x)$ che diventa $AP=2rcosx$. Il problema è che per trovare $ADP$ e $APE$, in base al disegno che mi hai postato dovrei avere parti diverse dell'angolo $A$, e il problema è proprio questo.
Innanzitutto AP non vale quanto dici. Da quale arco è sottesa la corda AP?
Inoltre hai tutte le parti dell'angolo in A, rifletti e potrai continuare………………..
Inoltre hai tutte le parti dell'angolo in A, rifletti e potrai continuare………………..
Per quanto riguarda il triangolo $ADP$ visto che è rettangolo e due lati sono congruenti allora è anche isoscele e potrei applicare anche pitagora, per quanto riguarda il triangolo $APC$ l'nagolo in $A$ lo chiamo $x$, un angolo è retto e l'altro angolo è $90°-x$, il fatto è che un pezzo dell'angolo $A$ vale 30° e gli altri due pezzi non lo so.
Certo che è rettangolo ma non so dove sei andato a pescare che è anche isoscele……………
Dell'angolo in A sai tutto, visto che la tangente è perpendicolare al diametro, che una sua parte vale 30°, quindi l'altra 60° e quindi infine DAP vale 60-x.
Dell'angolo in A sai tutto, visto che la tangente è perpendicolare al diametro, che una sua parte vale 30°, quindi l'altra 60° e quindi infine DAP vale 60-x.
Io intendevo dire che il triangolo $ADP$ è isoscele e quindi l'angolo $DAP=30°$ quindi essendo tutto l'angolo $A$ retto il resto vale $60°$ e se chiamo l'angolo $CAB=x$, allora l'angolo $PAE=60°-x$, l'angolo in $B$ dovrebbe valere$30°$ e quindi la corda $AP$ vale $AP=sinpi/6$, $AP=1/2$, giusto?
Nel problema trovo un sacco di triangoli rettangoli, ma nessun triangolo isoscele. Lavora semplicemente sui triangoli APB e APE, visto che del triangolo ACB hai già tutto. Prima però osserva che $hat(PAB)=x+30°$ e che $hat(PAE)-=hat(PAC)=x$.
Puoi trovare AP lavorando sul primo triangolo e PE lavorando sul secondo. Per PD, indicando con H la proiezione di P sul diametro, puoi notare che il quadrilatero AHPD è un rettangolo e che $PD = AH$. Quindi trovi AH usando il triangolo APH.
Puoi trovare AP lavorando sul primo triangolo e PE lavorando sul secondo. Per PD, indicando con H la proiezione di P sul diametro, puoi notare che il quadrilatero AHPD è un rettangolo e che $PD = AH$. Quindi trovi AH usando il triangolo APH.
Ho detto che il triangolo $ADP$ era isoscele ma mi sbagliavo perchè pensavo che $AD$ e $DP$ fossero raggi, smentito questo ho un dubbio: perche $CAB$ è $30°$ ? Poi il lato $AP$ lo trovo col teorema della corda visto che l'angolo in $B$ è $60°-x$, giusto?
"olegfresi":
ho un dubbio: perche $CAB$ è $30°$ ?
Se hai questo dubbio è meglio che cambi mestiere.
Marco
IL fatto è che non capisco a che triangolo bisogna fare riferimento per trovare gli angoli
Ma che cosa ti inventi? C'è un solo triangolo (nel testo del problema) che abbia l'angolo CAB!
Ok a questo punto, l'angolo$ACB$ vale $90°$ ma come faccio a sapere sia quanto vale $CAB$ che $CBA$
Non riesco a capire perché fai certe domande, visto che nel primo intervento ti eri già risposto da solo.
Perché non riflette (pluri-multi-cit.)
Io ero partito da considerazioni sbagliate, ora che ho capito come sono messi tutti i triangoli rettangoli, non riesco a capire come ricavare quegli angoli
Va bene, chiudiamo qui il thread, senno non ne usciamo più.
"olegfresi":
Io ero partito da considerazioni sbagliate, ora che ho capito come sono messi tutti i triangoli rettangoli, non riesco a capire come ricavare quegli angoli
Alcune delle considerazioni erano sbagliate, ma quella degli angoli era corretta: con il teorema della corda ti calcoli il seno dell'angolo, poi, siccome l'angolo è acuto, ti ricavi l'angolo. Il triangolo è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo, ne segue che per differenza puoi ottenere anche il terzo angolo.
Parlando del triangolo $CAB$ retto in $C$, $BC=ABsinx$ quindi $x=30°$ e l'angoloin $B$ è $60°$, e il lato $AC$ è $2sqrt(3)$, fin qui tutto giusto?
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