Problema su parabola ed ellisse
Questi sono i due quesiti che ho avuto difficoltà a risolvere (sarà stato sicuramente l'ozio delle vacanze estive che mi ha fatto perdere l'esercizio!). Qualcuno può darmi un input? Grazie!
"Scrivere l'eq. della parabola y=ax[xx(]+bx+c passante per il punto A=(-3;0) e tangente nel punto B=(0;3) alla retta r di coefficiente angolare -2. Condotta la tangente in A alla parabola e indicato con C il punto in cui incontra la retta r, calcolare le coordinate di C e l'area del triangolo ABC"
"Scrivere l'eq. dell'ellisse riferita agli assi, sapendo che essa passa per i punti P e Q della retta 2x+5y-18=0 e di ordinata rispettivamente 3 e 2. Determinare poi l'eq. della tangente all'ellisse nel punto P."
"Scrivere l'eq. della parabola y=ax[xx(]+bx+c passante per il punto A=(-3;0) e tangente nel punto B=(0;3) alla retta r di coefficiente angolare -2. Condotta la tangente in A alla parabola e indicato con C il punto in cui incontra la retta r, calcolare le coordinate di C e l'area del triangolo ABC"
"Scrivere l'eq. dell'ellisse riferita agli assi, sapendo che essa passa per i punti P e Q della retta 2x+5y-18=0 e di ordinata rispettivamente 3 e 2. Determinare poi l'eq. della tangente all'ellisse nel punto P."
Risposte
L'equazione della parabola e' del tipo:
y=(x+3)(ax+b)
Imponendo il passaggio per B(0,3) risulta:
3=3b--->b=1 e dunque: y=(x+3)(ax+1), ovvero:
y=ax^2+(3a+1)x+3.
Il coefficiente angolare della tangente alla parabola
nel suo punto generico di ascissa xo e' m=2axo+b .
Nel nostro caso e' (per il punto B):
-2=2(0)+3a+1--->a=-1.Pertanto la parabola e':
y=-x^2-2x+3
Adoperando la formula m=2axo+b (di cui prima) per
il punto A si ha:m=2(-1)(-3)-2=4.Pertanto la tangente in A e':
y-0=4(x+3) ovvero y=4x+12,mentre la tang. in B e':y=-2x+3.
Risolvendo il sistema [ y=4x+12,y=-2x+3] si ha il punto C:
C(-3/2,6).L'area del triangolo ABC e' il valore assoluto (moltiplicato per 0.5) del determinante
[-3,0,1;0,3,1;-3/2,6,1]
Fatti i calcoli risulta:
S(ABC)=27/4
karl.
y=(x+3)(ax+b)
Imponendo il passaggio per B(0,3) risulta:
3=3b--->b=1 e dunque: y=(x+3)(ax+1), ovvero:
y=ax^2+(3a+1)x+3.
Il coefficiente angolare della tangente alla parabola
nel suo punto generico di ascissa xo e' m=2axo+b .
Nel nostro caso e' (per il punto B):
-2=2(0)+3a+1--->a=-1.Pertanto la parabola e':
y=-x^2-2x+3
Adoperando la formula m=2axo+b (di cui prima) per
il punto A si ha:m=2(-1)(-3)-2=4.Pertanto la tangente in A e':
y-0=4(x+3) ovvero y=4x+12,mentre la tang. in B e':y=-2x+3.
Risolvendo il sistema [ y=4x+12,y=-2x+3] si ha il punto C:
C(-3/2,6).L'area del triangolo ABC e' il valore assoluto (moltiplicato per 0.5) del determinante
[-3,0,1;0,3,1;-3/2,6,1]
Fatti i calcoli risulta:
S(ABC)=27/4
karl.
quote:
Originally posted by comet
"Scrivere l'eq. dell'ellisse riferita agli assi, sapendo che essa passa per i punti P e Q della retta 2x+5y-18=0 e di ordinata rispettivamente 3 e 2. Determinare poi l'eq. della tangente all'ellisse nel punto P."
Per ricavare P sostituisci 3 al posto di y nell'equazione della retta;
ottieni: 2x + 15 - 18 = 0 ==> 2x = 3 ==> x = 3/2. Quindi P(3/2 ; 3)
Per ricavare Q sostituisci 2 al posto di y nell'equazione della retta;
ottieni: 2x + 10 - 18 = 0 ==> 2x = 8 ==> x = 4. Quindi Q(4 ; 2)
L'equazione dell'ellisse è in forma generica: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
In questo caso può essere ricavata dal seguente sistema, imponendo
il passaggio per P e Q:
{9/(4a^2) + 9/b^2 = 1 [passaggio per P]
{16/a^2 + 4/b^2 = 1 [passaggio per Q]
Risolvendolo si trova a^2 = 27 e b^2 = 108/11
L'equazione dell'ellisse è allora:
x^2/27 + (11/108)y^2 = 1
La tangente all'ellisse in P è facilmente calcolabile
con la formula di sdoppiamento:
(x*x0)/(a^2) + (y*y0)/b^2 = 1
dove x0 e y0 sono le coordinate del punto di tangenza.
L'equazione è: (3/54)x + (33/108)y = 1
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