Problema su massimo triangolo isoscele iscritto in una circonferenza
Salve, sto svolgendo un esercizio che chiede
Il libro impone implicitamente che dovrei ( e vorrei riuscire ) a utilizzare solo la geometria analitica.
Il mio tentativo, dove ben presto mi perdo
è questo
Per iniziare prendo $2b+h$ e metto a sistema le condizioni $b <=2r$ e $h<=2r$
Pongo $h=OC+OH$ quindi $h=r+x$.
Dopodichè costruisco il triangolo rettangolo AOH e con pitagora
$x=sqrt(r^2 + AH^2)$
E poi da qua son perso perchè mi trovo risultati improbabli.
La soluzione del libro è $r(1+sqrt(17))$
Grazie mille in anticipo
Tra i triangoli iscritti in una circonferenza di raggio r, si determini quelli per cui è massima la somma dell'altezza e del doppio della base.
Il libro impone implicitamente che dovrei ( e vorrei riuscire ) a utilizzare solo la geometria analitica.
Il mio tentativo, dove ben presto mi perdo
è questoPer iniziare prendo $2b+h$ e metto a sistema le condizioni $b <=2r$ e $h<=2r$
Pongo $h=OC+OH$ quindi $h=r+x$.
Dopodichè costruisco il triangolo rettangolo AOH e con pitagora
$x=sqrt(r^2 + AH^2)$
E poi da qua son perso perchè mi trovo risultati improbabli.
La soluzione del libro è $r(1+sqrt(17))$
Grazie mille in anticipo
Risposte
Se chiami $x$ la distanza della base dal centro, hai $h = R + x$ e $b = 2*sqrt(R^2-x^2)$, per cui la funzione da rendere massima è $R + x + 4 sqrt(R^2-x^2)$.
Se fai la derivata e la metti = 0...
Se fai la derivata e la metti = 0...
Ciao e grazie della risposta 
il problema è che posso utilizzare solo quello che si studia il primo biennio dello scientifico ( forse dire solo geometria analitica è un po vago )
il problema è che posso utilizzare solo quello che si studia il primo biennio dello scientifico ( forse dire solo geometria analitica è un po vago )
Non mi viene nessuna idea... se trovi la soluzione, faccela sapere
Il problema si può risolvere anche per via elementare senza scomodare derivate od altro.
Mi rifaccio all'espressione trovata da mgrau che indico con S:
$S=x+R+4\sqrt{R^2-x^2}$
Isolando il radicale, elevando al quadrato ed ordinando rispetto all'incognita x, si ha l'equazione :
$17x^2-2(S-R)x+(S^2-2SR-15R^2)=0$ con la limitazione $0
$(S-R)^2-17(S^2-2SR-15R^2)>=0$
Ovvero:
$S^2-2RS-16R^2<=0$
da cui la condizione su S:
$S<=R+R\sqrt{17}$
Pertanto il massimo richiesto è appunto $R(1+\sqrt{17})$
C.V.D.
Mi rifaccio all'espressione trovata da mgrau che indico con S:
$S=x+R+4\sqrt{R^2-x^2}$
Isolando il radicale, elevando al quadrato ed ordinando rispetto all'incognita x, si ha l'equazione :
$17x^2-2(S-R)x+(S^2-2SR-15R^2)=0$ con la limitazione $0
$(S-R)^2-17(S^2-2SR-15R^2)>=0$
Ovvero:
$S^2-2RS-16R^2<=0$
da cui la condizione su S:
$S<=R+R\sqrt{17}$
Pertanto il massimo richiesto è appunto $R(1+\sqrt{17})$
C.V.D.
La soluzione di sandroroma mi pare ineccepibile. Mi permetto di proporne una seconda che utilizza la geometria analitica.
Sia $ x^2+y^2-2rx=0 $ la circonferenza, di centro $ C(r,0) $, circoscritta al triangolo isoscele che ha la base parallela all'asse delle ordinate e vertice nell'origine. Indicando con $ P(x,y) $ il vertice del triangolo appartenente alla semicirconferenza nel primo quadrante; al variare di $ P $ la somma da rendere massima sarà $ x+4y=s $: un fascio improprio di rette, con $ s $ che cresce quando la retta si allontana dall'origine. Il massimo di $ s $ si ottiene quando la retta diventa tangente alla circonferenza ovvero quando la sua distanza dal centro della medesima misura $ r $:
$ | r-s|/sqrt(17)=r -> |r-s|=r sqrt(17)-> s=r(1+sqrt(17))$. La seconda soluzione con $ r>s $ è, ovviamente, inaccettabile: corrisponde alla retta tangente alla circonferenza nel quarto quadrante.
Ciao
Sia $ x^2+y^2-2rx=0 $ la circonferenza, di centro $ C(r,0) $, circoscritta al triangolo isoscele che ha la base parallela all'asse delle ordinate e vertice nell'origine. Indicando con $ P(x,y) $ il vertice del triangolo appartenente alla semicirconferenza nel primo quadrante; al variare di $ P $ la somma da rendere massima sarà $ x+4y=s $: un fascio improprio di rette, con $ s $ che cresce quando la retta si allontana dall'origine. Il massimo di $ s $ si ottiene quando la retta diventa tangente alla circonferenza ovvero quando la sua distanza dal centro della medesima misura $ r $:
$ | r-s|/sqrt(17)=r -> |r-s|=r sqrt(17)-> s=r(1+sqrt(17))$. La seconda soluzione con $ r>s $ è, ovviamente, inaccettabile: corrisponde alla retta tangente alla circonferenza nel quarto quadrante.
Ciao
Grazie mille a tutti 
Carini entrambi i procedimenti, anch'io ci ho dedicato un po' di tempo senza però trovare qualcosa di buono. Solo, non ho capito la tua costruzione, orso.....il vertice del triangolo é l' origine o un punto dell' asse y o che altro?
Io avevo pensato a una circonferenza con centro C(0,0) circoscritta ad un triangolo con vertice sull'asse y. Ovviamente il risultato dovrebbe coincidere con il vostro.......poi il torneo di bridge ha chiamato, e voi mi avete preceduto.....
Io avevo pensato a una circonferenza con centro C(0,0) circoscritta ad un triangolo con vertice sull'asse y. Ovviamente il risultato dovrebbe coincidere con il vostro.......poi il torneo di bridge ha chiamato, e voi mi avete preceduto.....
@sandroroma: stavo provando la tua soluzione, non mi è chiaro come, nell'ultimo passaggio da $-15r^2$ riesci ad avere $-16r^2$ grazie mille ancora
"teorema55":
..il vertice del triangolo é l' origine o un punto dell' asse y o che altro?
.
"orsoulx":
...triangolo isoscele che ha la base parallela all'asse delle ordinate e vertice nell'origine.
Il triangolo isoscele ha vertice nell'origine e base parallela all'asse delle ordinate con estremi nei punti $P$ e $P'$ della circonferenza simmetrici rispetto all'asse delle ascisse.
@caffeinaplus
$ R^2-17cdot(-15R^2)=256R^2=16 cdot 16R^2 $
Ciao
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