Problema su massimi e minimi
Salve a tutti, volevo chiedere un aiuto sullo svolgimento di questo esercizio che mi sta facendo impazzire.
Sulla circonferenza di diametro AB, con AB=2r, determina un punto P tale che, dette M e H le sue proiezioni ortogonali rispettivamente sulla retta tangente in A alla semicirconferenza e sul diametro AB, sia massima l'area del rettangolo AHPM.
Innanzitutto ho notato che per trovare l'area del rettangolo basta moltiplicare il valore X del punto P per la sua Y, dato che M e P sono sue proiezioni su due su rette che possiamo considerare come assi cartesiani. Ho poi calcolato l' equazione della circonferenza, ossia y^2=-x^2+2xr, con r che corrisponde al valore del raggio. Sappiamo quindi che la Y^2 di P vale -(Xp^2-2Xp*r),con Xp che corrisponde al valore X del punto P. Il valore dell'area diventa quindi A=Xp*√(2Xp*r-x^2). Inoltre il segmento HP (che vale tanto quanto Yp) corrisponde a (2r-Xp)*sinX, con X=ABP (angolo che ho notato essere anche uguale a APH). Mettendo a sistema i due valori di Yp risaliamo a r=Xp*(1-1/cosX)/2, e sostituendo questo valore nell'area abbiamo che A=Xp*√(Xp^2-Xp^2-Xp^2/cosx). Alla fine arrivo ad ottenere A=Xp*Xp/√cosX, che però mi darebbe un' area tanto maggiore quanto più piccolo fosse X, il cui reale valore dovrebbe essere però di π/3.
Ho provato ad affrontare il problema in vari modi, fallendo però tutte le volte. Chiedo scusa per i vari errori grammaticali (sto usando il cellulare e sono mezzo addormentato) e ringrazio in anticipo chiunque riesca ad aiutarmi.
Sulla circonferenza di diametro AB, con AB=2r, determina un punto P tale che, dette M e H le sue proiezioni ortogonali rispettivamente sulla retta tangente in A alla semicirconferenza e sul diametro AB, sia massima l'area del rettangolo AHPM.
Innanzitutto ho notato che per trovare l'area del rettangolo basta moltiplicare il valore X del punto P per la sua Y, dato che M e P sono sue proiezioni su due su rette che possiamo considerare come assi cartesiani. Ho poi calcolato l' equazione della circonferenza, ossia y^2=-x^2+2xr, con r che corrisponde al valore del raggio. Sappiamo quindi che la Y^2 di P vale -(Xp^2-2Xp*r),con Xp che corrisponde al valore X del punto P. Il valore dell'area diventa quindi A=Xp*√(2Xp*r-x^2). Inoltre il segmento HP (che vale tanto quanto Yp) corrisponde a (2r-Xp)*sinX, con X=ABP (angolo che ho notato essere anche uguale a APH). Mettendo a sistema i due valori di Yp risaliamo a r=Xp*(1-1/cosX)/2, e sostituendo questo valore nell'area abbiamo che A=Xp*√(Xp^2-Xp^2-Xp^2/cosx). Alla fine arrivo ad ottenere A=Xp*Xp/√cosX, che però mi darebbe un' area tanto maggiore quanto più piccolo fosse X, il cui reale valore dovrebbe essere però di π/3.
Ho provato ad affrontare il problema in vari modi, fallendo però tutte le volte. Chiedo scusa per i vari errori grammaticali (sto usando il cellulare e sono mezzo addormentato) e ringrazio in anticipo chiunque riesca ad aiutarmi.
Risposte
Per poterti aiutare ho bisogno di conoscere alcune cose.
Conosci le derivate? Con queste sarebbe la via più diretta.
Oppure potresti lavorare totalmente con la trigonometria, lavorare in forma mista di solito non porta a niente, solo ad un miscuglio di incognite che hanno significati diversi.
Conosci le derivate? Con queste sarebbe la via più diretta.
Oppure potresti lavorare totalmente con la trigonometria, lavorare in forma mista di solito non porta a niente, solo ad un miscuglio di incognite che hanno significati diversi.
Sisi le conosco, ma avevo problemi a derivare dato che nell'equazione ci sono due incognite (Xp e l'angolo X).
Non capisco perché ti complichi la vita.
Posto $AH=x$ hai $HB=2r-x$ e con il secondo teorema di Talete ti trovi $PH$ e poi l'area ecc.
Posto $AH=x$ hai $HB=2r-x$ e con il secondo teorema di Talete ti trovi $PH$ e poi l'area ecc.
Ma anche se sei partito con la geometria analitica $AH=x$ e $PH=sqrt(2rx-x^2)$ e, guarda caso, trovi l'area con l'identica formula che ti ha proposto igiul. Non capisco perché a problema praticamente finito
$A=x_p*sqrt(2x_p*r-x_p^2)$ti sei sognato di tirare fuori gli angoli.
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