Problema su circonferenza
Buonasera a tutti, vi pongo il seguente problema: Data una circonferenza nota di raggio R, sapete dirmi e dimostrarmi quanto vale il raggio R1 di una seconda circonferenza centrata in un punto qualsiasi della prima e che descriva un arco che divide sempre la prima circonferenza in due parti uguali. Spero che sia tutto chiaro. Grazieee
Risposte
Ciao Ruoppolo17, benvenuto nel forum.
Comincio con il richiamarti al rispetto delle regole.
1) No scrivere tutto maiuscolo, neanche il titolo, che comunque adesso correggo io, in internet il maiuscolo equivale a gridare, qui non amiamo chi alza la voce.
2) Idee tue?
Siccome è il primo intervento ti aiuto lo stesso.
Il centro C della seconda circonferenza è in un punto della prima, per la simmetria delle circonferenze i punti di intersezione A e B devono essere simmetrici rispetto a C, quindi AC=BC. Inoltre, siccome i due archi AB devone essere congruenti, significa che AB è un diametro. Il triangolo ABC è, quindi, rettangolo isoscele con ipotenusa 2R, i cateti, che sono anche il raggio della seconda circonferenza misurano $R_1=Rsqrt2$
Comincio con il richiamarti al rispetto delle regole.
1) No scrivere tutto maiuscolo, neanche il titolo, che comunque adesso correggo io, in internet il maiuscolo equivale a gridare, qui non amiamo chi alza la voce.
2) Idee tue?
Siccome è il primo intervento ti aiuto lo stesso.
Il centro C della seconda circonferenza è in un punto della prima, per la simmetria delle circonferenze i punti di intersezione A e B devono essere simmetrici rispetto a C, quindi AC=BC. Inoltre, siccome i due archi AB devone essere congruenti, significa che AB è un diametro. Il triangolo ABC è, quindi, rettangolo isoscele con ipotenusa 2R, i cateti, che sono anche il raggio della seconda circonferenza misurano $R_1=Rsqrt2$
Ciao @melia
Scusami ma sono nuovo e non conoscevo queste regole. Innanzitutto ti ringrazio per la risposta e anche per il richiamo.
Ti riporto come avevo pensato di risolverlo: la seconda circonferenza è centrata in un punto O' della prima circonferenza e ne interseca il diametro in due punti A e B. A questo punto AO'B descrive un triangolo che avevo ipotizzato fosse equilatero, pertanto ogni suo angolo è di 60 gradi e ciascun lato è pari a R1. L'altezza di questo triangolo risulta invece pari alla distanza tra O'O e quindi al raggio R della prima circonferenza. Dividendo in due il triangolo AO'B ottengo due triangoli rettangoli uguali. Considerandone uno dei due, ad esempio il triangolo O'BO, ed utilizzando le formule dei triangoli rettangoli, calcolo R1 a partire dai valori noti R e uno dei angoli (noti perchè supposto il triangolo AO'B equilatero).
Queste considerazioni si basano sull'ipotesi che il triangolo AO'B sia equilatero e di questo non sono sicuro, pertanto non sono sicuro della bontà dei calcoli fatti.
Dalla risposta che mi hai dato, Consideri L'ipotenusa del triangolo isoscele individuato pari a 2R. Ritengo che L'ipotenusa debba essere inferiore a 2R.
Per maggiore chiarezza riporto un disegno e la descrizione del problema (ho avuto difficoltà nell'allegare il file), spero sia ugualmente tutto chiaro.
Grazie ancora della disponibilità e confido nell'aiuto di tutti voi nella risoluzione del problema.
Ciaooo
Scusami ma sono nuovo e non conoscevo queste regole. Innanzitutto ti ringrazio per la risposta e anche per il richiamo.
Ti riporto come avevo pensato di risolverlo: la seconda circonferenza è centrata in un punto O' della prima circonferenza e ne interseca il diametro in due punti A e B. A questo punto AO'B descrive un triangolo che avevo ipotizzato fosse equilatero, pertanto ogni suo angolo è di 60 gradi e ciascun lato è pari a R1. L'altezza di questo triangolo risulta invece pari alla distanza tra O'O e quindi al raggio R della prima circonferenza. Dividendo in due il triangolo AO'B ottengo due triangoli rettangoli uguali. Considerandone uno dei due, ad esempio il triangolo O'BO, ed utilizzando le formule dei triangoli rettangoli, calcolo R1 a partire dai valori noti R e uno dei angoli (noti perchè supposto il triangolo AO'B equilatero).
Queste considerazioni si basano sull'ipotesi che il triangolo AO'B sia equilatero e di questo non sono sicuro, pertanto non sono sicuro della bontà dei calcoli fatti.
Dalla risposta che mi hai dato, Consideri L'ipotenusa del triangolo isoscele individuato pari a 2R. Ritengo che L'ipotenusa debba essere inferiore a 2R.
Per maggiore chiarezza riporto un disegno e la descrizione del problema (ho avuto difficoltà nell'allegare il file), spero sia ugualmente tutto chiaro.
Grazie ancora della disponibilità e confido nell'aiuto di tutti voi nella risoluzione del problema.
Ciaooo
Come pensavo tu intendi il cerchio non la circonferenza, @melia ti ha preso alla lettera (giustamente) ...
Hai ragione, sono stato infelice nell'esprimermi. Mi auguro che ora sia più chiaro
Ora che tutto è chiaro, propongo la mia soluzione, molto laboriosa dal punto di vista dei calcoli (che qui, al lavoro, non posso fare) e quindi convinto che ci sia di più semplice.
Nella tua figura disegna tre raggi del secondo cerchio (il cui centro $O'$ è posto sulla circonferenza del primo): i due congiungenti $O'$ con i punti di intersezione delle due circonferenze (chiamiamoli $A$ e $B$ ) e quello passante per $O$ con, evidentemente, $r'>r$.
Vedrai che la figura ottenuta ha come area la somma dell'area del settore circolare $AO'B$ del secondo cerchio e quella dei due segmenti circolari $AO'$ e $O'B$ del primo cerchio (che sono congruenti e la cui area si calcola come differenza tra quella del settore circolare che li sottende e quella del triangolo isoscele $OO'A$. Sai che quest'area deve essere metà di quella del primo cerchio, cioè deve valere $\piR^2/2$
Come incognita indicherei la differenza tra i due raggi, $x=r' - r$
Otterrai una lunga equazione di 4° grado in $r$ ed $r'$, cioè in $r$ ed $r+x$............buon divertimento!
Nella tua figura disegna tre raggi del secondo cerchio (il cui centro $O'$ è posto sulla circonferenza del primo): i due congiungenti $O'$ con i punti di intersezione delle due circonferenze (chiamiamoli $A$ e $B$ ) e quello passante per $O$ con, evidentemente, $r'>r$.
Vedrai che la figura ottenuta ha come area la somma dell'area del settore circolare $AO'B$ del secondo cerchio e quella dei due segmenti circolari $AO'$ e $O'B$ del primo cerchio (che sono congruenti e la cui area si calcola come differenza tra quella del settore circolare che li sottende e quella del triangolo isoscele $OO'A$. Sai che quest'area deve essere metà di quella del primo cerchio, cioè deve valere $\piR^2/2$
Come incognita indicherei la differenza tra i due raggi, $x=r' - r$
Otterrai una lunga equazione di 4° grado in $r$ ed $r'$, cioè in $r$ ed $r+x$............buon divertimento!
Altra procedura che, comunque, direi equivalente: detti sempre $A$ e $B$ i due punti di intersezione delle circonferenze e congiungendoli, l'area in giallo è la somma delle aree dei due segmenti circolari che la compongono. Questa deve valere
$A_1=(\pir^2)/2$.............in questo caso l'incognita potrebbe essere
$x=AB$
Ovviamente ho supposto che si tratti di geometria euclidea, non di geometria analitica..........con o anche senza l'aiuto della trigonometria. Vero?
$A_1=(\pir^2)/2$.............in questo caso l'incognita potrebbe essere
$x=AB$
Ovviamente ho supposto che si tratti di geometria euclidea, non di geometria analitica..........con o anche senza l'aiuto della trigonometria. Vero?
Ciao teorema55
La tua risposta è stata preziosa perché ho utilizzato le tue considerazioni per sviluppare anche un'altra soluzione. Mi sembrava troppo complicata descriverla e pertanto riporto i passaggi nell'allegato. Ho usato le tue informazioni che mi sembrano validissime e sono arrivato alla conclusione che ti riporto nell'immagine. L'equazione risultante ha come incognite R1 e l'angolo beta (che però non so come posso sostituire nell'equazione finale). Se solo sostituissi beta nell'equazione finale, mi resterebbe da calcolare solo R1.
Spero siano comprensibili i passaggi e mi auguro che la strada sia quella giusta.
La tua risposta è stata preziosa perché ho utilizzato le tue considerazioni per sviluppare anche un'altra soluzione. Mi sembrava troppo complicata descriverla e pertanto riporto i passaggi nell'allegato. Ho usato le tue informazioni che mi sembrano validissime e sono arrivato alla conclusione che ti riporto nell'immagine. L'equazione risultante ha come incognite R1 e l'angolo beta (che però non so come posso sostituire nell'equazione finale). Se solo sostituissi beta nell'equazione finale, mi resterebbe da calcolare solo R1.
Spero siano comprensibili i passaggi e mi auguro che la strada sia quella giusta.
La misura dell'angolo $\beta$ dovrebbe sparire ponendo la condizione
Area parte in tratteggio $=(\piR^2)/2$
Okkio perché al momento non posso controllare i calcoli. Fammi sapere.
Area parte in tratteggio $=(\piR^2)/2$
Okkio perché al momento non posso controllare i calcoli. Fammi sapere.
Già l ho posta questa condizione e l'equazione risultante ha come incognita R1 e beta.
Secondo me ci sono vicino. Se controlli i miei calcoli fammi sapere
Secondo me ci sono vicino. Se controlli i miei calcoli fammi sapere
Dove l'hai applicata?
Quanto al $sin\beta$ puoi trovare, per esempio, l'area del triangolo isoscele per via euclidea ($(bh)/2$), e poi la stessa per via trigonometrica ($(lLsin\beta)/2$), con $\beta=$ angolo compreso tra $l$ ed $L$. Uguagliandole puoi ricavare $sin\beta$.
Quanto al $sin\beta$ puoi trovare, per esempio, l'area del triangolo isoscele per via euclidea ($(bh)/2$), e poi la stessa per via trigonometrica ($(lLsin\beta)/2$), con $\beta=$ angolo compreso tra $l$ ed $L$. Uguagliandole puoi ricavare $sin\beta$.
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