Problema studio di funzione
Salve ho dei problemi con questo problema e nn riesco ad andare avanti
Determina i valori di a,b,c per la funzione
$f(x)=(ax^2+bx+c)/x^2$
sapendo che il grafico f(x) ha per asintoto orizzontale la retta y=2 e che nel punto P(1,-1) ha per tangente una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo la cui area è 9/4. (tra i volori trovati considera il valore di c intero)
B) traccia il grafico probabile della funzione
c) individua il punto con tangente orizzontale
RISULTATI: a=2, b=-4 , c=1
C) (1/2,-2)
Determina i valori di a,b,c per la funzione
$f(x)=(ax^2+bx+c)/x^2$
sapendo che il grafico f(x) ha per asintoto orizzontale la retta y=2 e che nel punto P(1,-1) ha per tangente una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo la cui area è 9/4. (tra i volori trovati considera il valore di c intero)
B) traccia il grafico probabile della funzione
c) individua il punto con tangente orizzontale
RISULTATI: a=2, b=-4 , c=1
C) (1/2,-2)
Risposte
ciao LuigiRu97
Allora da come è fatta la funzione dovresti subito notare che il limite per x tendente a infinito è "a" e siccome deve esserci asintoto orizzontale ne deduci che a=2... fin qui è chiaro?
$lim_(x->infty) f(x)=a=2$
Poi per il seguito facciamo la derivata della funzione
$y'(x)=-(bx+2c)/x^3$
e sappiamo che la derivata calcolata in P ti fornisce il coefficiente angolare della retta che incontra gli assi e che forma quel triangolo
$m=f'(1)=-b-2c$
ora la retta passa per P(1,-1) sarà del tipo
$y=mx+q=(-b-2c)x+q$
imponiamo il passaggio per P e troviamo $q=b+2c-1$
e la retta sarà
$y=mx+q=(-b-2c)x+(b+2c-1)$
e ora vediamo dove interseca gli assi
asse Y: $A(0,b+2c-1)$
asse X: $B((b+2c-1)/(b+2c),0)$
Il triangolo di cui parla il testo è rettangolo lo vedi se fai un disegno
La sua area è (catetoXcateto)/2 dove i cateti sono OA e OB
***** AREA=$9/4=-(1/2)((b+2c-1)^2)/(b+2c)$
Ti chiederai il perchè del segno meno... perchè la coordinata del punto A è negativa, lo capisci dal disegno... e se la scrivo così come è ottengo una area negativa... devo usare il segno meno prima perchè mi interessa la distanza OA in valore assoluto!!
Hai una equazione e due incognite... manca qualcosa... ah si... anche la curva passa per P(1,-1)
Allora imponiamo il passaggio per P della curva stessa che ti ricordo essere
$y=(2x^2+bx+c)/(x^2)$
e allora abbiamo
$-1=2+b+c$
cioè
**** $b+c=-3$
Adesso per trovare $b$ e $c$ hai un bel sistema di due equazioni e due incognite che sono quelle dove ho messo gli asterischi
hai capito che cosa ho fatto finora?
Il sistema risolto ti fornisce $b=-4$ e $c=1$ (per il parametro $c$ si trova anche il valore $5/2$ che non consideriamo perchè non intero)
La funzione allora è
$y=(2x^2-4x+1)/x^2$
il grafico lo lascerei a te lo sai fare? Devi fare lo studio della funzione mi sembra un ottimo esercizio... se non sai farlo chiedi che vediamo di aiutare ma prova a farcela da solo ... non capisco solo perchè il testo parli di grafico probabile... il grafico è il grafico, mica è probabile... Allego il disegno del grafico con anche la tangente in A(1,-1) in blu in modo che tu possa anche vedere bene il triangolo di cui si parlava prima. Ti chiedo solo di non aprire l'allegato fino a quando non avrai fatto lo studio di funzione e vorrai solo controllare se ti è venuto bene il grafico
Il punto a tangente orizzontale lo trovi annullando la derivata prima
$y'(x)=(4x-2)/x^3=0$
da cui trovi il punto $P(1/2, -2)$
tutto chiaro??
ciao!!
Allora da come è fatta la funzione dovresti subito notare che il limite per x tendente a infinito è "a" e siccome deve esserci asintoto orizzontale ne deduci che a=2... fin qui è chiaro?
$lim_(x->infty) f(x)=a=2$
Poi per il seguito facciamo la derivata della funzione
$y'(x)=-(bx+2c)/x^3$
e sappiamo che la derivata calcolata in P ti fornisce il coefficiente angolare della retta che incontra gli assi e che forma quel triangolo
$m=f'(1)=-b-2c$
ora la retta passa per P(1,-1) sarà del tipo
$y=mx+q=(-b-2c)x+q$
imponiamo il passaggio per P e troviamo $q=b+2c-1$
e la retta sarà
$y=mx+q=(-b-2c)x+(b+2c-1)$
e ora vediamo dove interseca gli assi
asse Y: $A(0,b+2c-1)$
asse X: $B((b+2c-1)/(b+2c),0)$
Il triangolo di cui parla il testo è rettangolo lo vedi se fai un disegno
La sua area è (catetoXcateto)/2 dove i cateti sono OA e OB
***** AREA=$9/4=-(1/2)((b+2c-1)^2)/(b+2c)$
Ti chiederai il perchè del segno meno... perchè la coordinata del punto A è negativa, lo capisci dal disegno... e se la scrivo così come è ottengo una area negativa... devo usare il segno meno prima perchè mi interessa la distanza OA in valore assoluto!!
Hai una equazione e due incognite... manca qualcosa... ah si... anche la curva passa per P(1,-1)
Allora imponiamo il passaggio per P della curva stessa che ti ricordo essere
$y=(2x^2+bx+c)/(x^2)$
e allora abbiamo
$-1=2+b+c$
cioè
**** $b+c=-3$
Adesso per trovare $b$ e $c$ hai un bel sistema di due equazioni e due incognite che sono quelle dove ho messo gli asterischi
hai capito che cosa ho fatto finora?
Il sistema risolto ti fornisce $b=-4$ e $c=1$ (per il parametro $c$ si trova anche il valore $5/2$ che non consideriamo perchè non intero)
La funzione allora è
$y=(2x^2-4x+1)/x^2$
il grafico lo lascerei a te lo sai fare? Devi fare lo studio della funzione mi sembra un ottimo esercizio... se non sai farlo chiedi che vediamo di aiutare ma prova a farcela da solo ... non capisco solo perchè il testo parli di grafico probabile... il grafico è il grafico, mica è probabile...
Allego il disegno del grafico con anche la tangente in A(1,-1) in blu in modo che tu possa anche vedere bene il triangolo di cui si parlava prima. Ti chiedo solo di non aprire l'allegato fino a quando non avrai fatto lo studio di funzione e vorrai solo controllare se ti è venuto bene il graficoIl punto a tangente orizzontale lo trovi annullando la derivata prima
$y'(x)=(4x-2)/x^3=0$
da cui trovi il punto $P(1/2, -2)$
tutto chiaro??
ciao!!
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