Problema settore circolare
Oggi xD sto facendo dei problemi assurdi...
Dato il settore circolare $AOB = 60°$ e $AO=OB=r$ sia M il punto medio di OA P un punto sulla semiretta OB tale che $MPQ=90°$. Esprimere $OQ$ in funzione di $x=POQ$
Questo non riesco neanche ad iniziarlo O.o...
C'è qualcuno che ci riesce ? sigh sigh almeno xD un lato ...
Dato il settore circolare $AOB = 60°$ e $AO=OB=r$ sia M il punto medio di OA P un punto sulla semiretta OB tale che $MPQ=90°$. Esprimere $OQ$ in funzione di $x=POQ$
Questo non riesco neanche ad iniziarlo O.o...
C'è qualcuno che ci riesce ? sigh sigh almeno xD un lato ...
Risposte
ciao...non vorrei sbagliare ma mi pare che non hai definito Q dove sta questo punto? 
Cosa è $Q$?
Giusto scusatemi 
Sto impazzendo...
Dato il settore circolare $AOB=60°$ e $AO=OB=r$ sia M il punto medio di $OA$ e $P$ un punto dell'arco AB e Q un punto sulla semiretta OB tale che MPQ=90°. Esprimere OQ in funzione di x=POQ
scusate ancora
Sto impazzendo...Dato il settore circolare $AOB=60°$ e $AO=OB=r$ sia M il punto medio di $OA$ e $P$ un punto dell'arco AB e Q un punto sulla semiretta OB tale che MPQ=90°. Esprimere OQ in funzione di x=POQ
scusate ancora
Avevo pensato a calcolarmi MP con il teorema del coseno... ma viene una cosa enorme ai fini dei calcoli impossibile.-..
non vorrei sbagliare...io ho fatto questo ragionamnto...poichè P giace sull'arco la sua distanza da O è uguale a quella di AO e BO quindi è r se costruisci i triangoli MPQ eOPQ mediante similitudini trovi che l'angolo in O del triangolo OPQ misura 30 quindi ti scrivi OQ come r*sin30 spero di non averti detto una cavolata buona fortuna fammi sapere ciao ciao
Come fai con la similitudine ? XD... E un po difficile in più il problema chiede di trovare OQ in funzione di x poiché OQ non è determinato ma varia in base all'angolo x=POQ per l'appunto... Quindi non penso sia applicabile la similitudine... cmq grazie per l'aiuto
in più il problema chiede di trovare OQ in funzione di x poiché OQ non è determinato ma varia in base all'angolo x=POQ per l'appunto... Quindi non penso sia applicabile la similitudine... cmq grazie per l'aiuto
Raga eccovi tutti i calcoli, il disegno e il ragionamento da me fatti... Spero possiate aiutarmi...
Dato il settore circolare $AOB=60°$ e $AO=OB=r$ sia $M$ il punto medio di $OA$ e $P$ un punto dell'arco $AB$ e $Q$ un punto sulla semiretta $OB$ tale che $MPQ=90°$. Esprimere $OQ$ in funzione di $x=POQ$
Ovviamente $0°<=x<=60°$
Ovviamente $0$ e $60$ sono i casi limite da escludere...
(Dovrebbero essere esclusi o sbaglio dato che il campo di esistenza successivamente le escludera?? Ill libro li porta nel risultato: posto $t=tg(x/2)$ il risultato è: $r*(5t^2-2sqrt(3)t+3)/(3-5t^2), 0°<=x<=60°$, penso li porti cmq perché la funzione finale è definita in questi punti e sopratutto perché considera anche i casi limite... ma è giusto??)
Ragionamento:
- Calcolo $BP$ con carnot
- Applico il teorema dei seni per calcolare $sin(BPO)$
- Calcolo $PM$ con carnot
- Trovo $sin(OPM)$ con il teorema dei seni
- Trovo $sin(QPB)$ come differenza fra l'angolo retto in $MPQ$ e i due angoli trovati $BPO$ e $MPO$
- Trovo $ sin(PQB)$ come differenza di angoli in un triangolo (triangolo: $PQB$) conoscendo gli altri due... dato che il $sin(QBP)=sin(180-PBO)$=sin(PBO)$
- Infine con il teorema dei seni trovo $QB$
$POQ=x$
$POM=pi/3-x$
$QPB=90-OPM-BPO=90-[OPM+BPO]$
$PQB=180-QBP-QPB=180-QBP-90+OPM+BPO=90-QBP+OPM+BPO$
$BP=sqrt(2r^2-2r^2cosx)=sqrt(2)rsqrt(1-cosx)$
$OPB=OBP$
$(BP)/(sinx)=(OP)/(sin(BPO))=>sen(BPO)=sinx/(sqrt(2(1-cosx))$
$sin(QBP)=sin(PBO)=sinx/(sqrt(2(1-cosx))$
$PM=sqrt(r^2+r^2/4-r^2cos(pi/3-x))=r/2sqrt(5-4cos(60-x))$
$(OM)/sin(OPM)=(PM)/sin(60-x)=>sen(OPM)=sin(60-x)/sqrt(5-4cos(60-x))$
$sin(QPB)=sqrt(1-(sen(60-x))^2/(5-4cos(60-x)))sqrt(1-(senx)^2/(2(1-cosx)))-sin(60-x)/sqrt(5-4cos(60-x))sinx/(sqrt(2)(sqrt(1-cosx)))=(((cos(60-x)-2))(1-cosx)-sinx(sin(60-x)))/(sqrt(2)(sqrt(5-4cos(60-x))sqrt(1-cosx))$
$PQB=180-QBP-QPB=180-QBP-90+OPM+BPO=90-QBP+OPM+BPO=90-arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))+arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))=90°+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))$
$(BQ)/sin(QPB)=(BP)/(sin(BQP))=>BQ=sqrt(2)*r*sqrt(1-cosx)*[(((cos(60-x)-2))(1-cosx)-sinx(sin(60-x)))/(sqrt(2)(sqrt(5-4cos(60-x))sqrt(1-cosx))]/sin(90°+arcsin(sin(60-x)/sqrt(5-4cos(60-x)))]=$
$=((cos(60-x)-2)(1-cosx)-sinxsin(60-x))/(cos(60-x)-2)$
Purtroppo già da quest'ultimo passaggio posso notare di non trovarmi con il denominatore del risultato il quale dovrebbe essere
imponendo $t=tg(x/2)$:
$r*(5t^2-2sqrt(3)t+3)/(3-5t^2)$
Ho notato cmq che $(cos(60-x)-2)=-(5t^2-2sqrt(3)t+3)$ Quindi penso di essere sulla giusta strada... Il problema è che forse sbaglio qualche calcolo... o magari ho sbagliato proprio tutto il ragionamento... ditemi voi...
Se qualcuno ha un po' di tempo per aiutarmi...
Grazie, Macco
Dato il settore circolare $AOB=60°$ e $AO=OB=r$ sia $M$ il punto medio di $OA$ e $P$ un punto dell'arco $AB$ e $Q$ un punto sulla semiretta $OB$ tale che $MPQ=90°$. Esprimere $OQ$ in funzione di $x=POQ$
Ovviamente $0°<=x<=60°$
Ovviamente $0$ e $60$ sono i casi limite da escludere...
(Dovrebbero essere esclusi o sbaglio dato che il campo di esistenza successivamente le escludera?? Ill libro li porta nel risultato: posto $t=tg(x/2)$ il risultato è: $r*(5t^2-2sqrt(3)t+3)/(3-5t^2), 0°<=x<=60°$, penso li porti cmq perché la funzione finale è definita in questi punti e sopratutto perché considera anche i casi limite... ma è giusto??)
Ragionamento:
- Calcolo $BP$ con carnot
- Applico il teorema dei seni per calcolare $sin(BPO)$
- Calcolo $PM$ con carnot
- Trovo $sin(OPM)$ con il teorema dei seni
- Trovo $sin(QPB)$ come differenza fra l'angolo retto in $MPQ$ e i due angoli trovati $BPO$ e $MPO$
- Trovo $ sin(PQB)$ come differenza di angoli in un triangolo (triangolo: $PQB$) conoscendo gli altri due... dato che il $sin(QBP)=sin(180-PBO)$=sin(PBO)$
- Infine con il teorema dei seni trovo $QB$
$POQ=x$
$POM=pi/3-x$
$QPB=90-OPM-BPO=90-[OPM+BPO]$
$PQB=180-QBP-QPB=180-QBP-90+OPM+BPO=90-QBP+OPM+BPO$
$BP=sqrt(2r^2-2r^2cosx)=sqrt(2)rsqrt(1-cosx)$
$OPB=OBP$
$(BP)/(sinx)=(OP)/(sin(BPO))=>sen(BPO)=sinx/(sqrt(2(1-cosx))$
$sin(QBP)=sin(PBO)=sinx/(sqrt(2(1-cosx))$
$PM=sqrt(r^2+r^2/4-r^2cos(pi/3-x))=r/2sqrt(5-4cos(60-x))$
$(OM)/sin(OPM)=(PM)/sin(60-x)=>sen(OPM)=sin(60-x)/sqrt(5-4cos(60-x))$
$sin(QPB)=sqrt(1-(sen(60-x))^2/(5-4cos(60-x)))sqrt(1-(senx)^2/(2(1-cosx)))-sin(60-x)/sqrt(5-4cos(60-x))sinx/(sqrt(2)(sqrt(1-cosx)))=(((cos(60-x)-2))(1-cosx)-sinx(sin(60-x)))/(sqrt(2)(sqrt(5-4cos(60-x))sqrt(1-cosx))$
$PQB=180-QBP-QPB=180-QBP-90+OPM+BPO=90-QBP+OPM+BPO=90-arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))+arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))=90°+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))$
$(BQ)/sin(QPB)=(BP)/(sin(BQP))=>BQ=sqrt(2)*r*sqrt(1-cosx)*[(((cos(60-x)-2))(1-cosx)-sinx(sin(60-x)))/(sqrt(2)(sqrt(5-4cos(60-x))sqrt(1-cosx))]/sin(90°+arcsin(sin(60-x)/sqrt(5-4cos(60-x)))]=$
$=((cos(60-x)-2)(1-cosx)-sinxsin(60-x))/(cos(60-x)-2)$
Purtroppo già da quest'ultimo passaggio posso notare di non trovarmi con il denominatore del risultato il quale dovrebbe essere
imponendo $t=tg(x/2)$:
$r*(5t^2-2sqrt(3)t+3)/(3-5t^2)$
Ho notato cmq che $(cos(60-x)-2)=-(5t^2-2sqrt(3)t+3)$ Quindi penso di essere sulla giusta strada... Il problema è che forse sbaglio qualche calcolo... o magari ho sbagliato proprio tutto il ragionamento... ditemi voi...
Se qualcuno ha un po' di tempo per aiutarmi...
Grazie, Macco
Stavo pensando forse sbaglio questo passaggio anche perché mi sembra strano che da differenza di 2 angoli di un triangolo l'angolo $PQB$ possa ridursi a semplice coseno di un angolo, sopratutto di $OPM$... volevo verificare ma i calcoli sono risultati enormi... e complessi... per cui senza una data speranza non vorrei perdere tempo
$PQB=180-QBP-QPB=180-QBP-90+OPM+BPO=90-QBP+OPM+BPO=90-arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))+arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))=90°+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))$
Rinnovo la domanda lo che il problema è piuttosto palloccoloso xD però... che dite?
$PQB=180-QBP-QPB=180-QBP-90+OPM+BPO=90-QBP+OPM+BPO=90-arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))+arcsin(sinx/sqrt(2(1-cosx)))=90°+arcsin(sin(60-x)/(sqrt(5-4cos(60-x))))$
Rinnovo la domanda lo che il problema è piuttosto palloccoloso xD però...
che dite?
Scusa sarò io allucinato ma a me il problema sembra del tutto fattibile 
Metti il settore circolare nel piano xy, col centro nell'origine, di modo che $A=(r,0)$, $B=(r cos(pi/3),r sin(pi/3))$. Chiami $y$ l'angolo $POA$, che vale $pi/3-x$ (detto $x$ l'angolo POQ). Allora $P=(r cos(y),r sin(y))$. Il punto Q sta sulla retta OB, che ha equazione $Y = sqrt{3} X$. Se scrivi la retta per P perpendicolare a PM e la intersechi con la retta OB (che abbiamo detto essere $Y=sqrt{3} X$) ottieni il punto $Q$. Dato Q, trovi OQ con Pitagora, fine.
O no?
"V3rgil":
Dato il settore circolare $AOB=60°$ e $AO=OB=r$ sia M il punto medio di $OA$ e $P$ un punto dell'arco AB e Q un punto sulla semiretta OB tale che MPQ=90°. Esprimere OQ in funzione di x=POQ
Metti il settore circolare nel piano xy, col centro nell'origine, di modo che $A=(r,0)$, $B=(r cos(pi/3),r sin(pi/3))$. Chiami $y$ l'angolo $POA$, che vale $pi/3-x$ (detto $x$ l'angolo POQ). Allora $P=(r cos(y),r sin(y))$. Il punto Q sta sulla retta OB, che ha equazione $Y = sqrt{3} X$. Se scrivi la retta per P perpendicolare a PM e la intersechi con la retta OB (che abbiamo detto essere $Y=sqrt{3} X$) ottieni il punto $Q$. Dato Q, trovi OQ con Pitagora, fine.
O no?
Ecco l'unico problema e che non avevo mai risolto un problema di questo tipo con questo metodo ne la prof l'aveva mai fatto vedere (ne nessuna mia prof dalle medie...) perciò ho trovato difficoltà... non sapendo come uscirmene grazie cmq sei stato gentilissimo xD a rispondere alle mie continue sollecitazioni ora fo un po' i calcoli e ti dico
e che non avevo mai risolto un problema di questo tipo con questo metodo ne la prof l'aveva mai fatto vedere (ne nessuna mia prof dalle medie...) perciò ho trovato difficoltà... non sapendo come uscirmene grazie cmq sei stato gentilissimo xD a rispondere alle mie continue sollecitazioni ora fo un po' i calcoli e ti dico
Allora con i dati impostati da te precedentemente avremo che la retta passante per $MP$ avrà coefficiente angolare pari a :$2siny/(2cos(y)-1)$
dunque il reciproco sarà
$(2cos(y)-1)/(2siny)$
Indi la retta passante per P e perpendicolare a MP è
$Y-rseny=(2cosy-1)/(2seny)(X-rcosy)$
Da cui mettendo a sistema con $Y=sqrt(3)X$
$X=r((2(siny)^2-2(cosy)^2+cosy)/(2sqrt(3)-2cosy+1))$
il che significa che OQ sarà uguale a
$2r((2(siny)^2-2(cosy)^2+cosx)/(2sqrt(3)siny-2cosy+1))$
trasformando:
$2r((2(sin(60-x))^2-2(cos(60-x))^2+cos(60-x))/(2sqrt(3)sin(60-x)-2cos(60-y)+1))$
Imponendo $tan(x/2)=t$
Avremo quindi che il denominatore sarà:
$(3-t^2-4sqrt(3)t)(1+t^2)$, che purtroppo non è il risultato...
... cosa ho sbagliato perché anche questo ragionamento mi sembrava corretto...
dunque il reciproco sarà
$(2cos(y)-1)/(2siny)$
Indi la retta passante per P e perpendicolare a MP è
$Y-rseny=(2cosy-1)/(2seny)(X-rcosy)$
Da cui mettendo a sistema con $Y=sqrt(3)X$
$X=r((2(siny)^2-2(cosy)^2+cosy)/(2sqrt(3)-2cosy+1))$
il che significa che OQ sarà uguale a
$2r((2(siny)^2-2(cosy)^2+cosx)/(2sqrt(3)siny-2cosy+1))$
trasformando:
$2r((2(sin(60-x))^2-2(cos(60-x))^2+cos(60-x))/(2sqrt(3)sin(60-x)-2cos(60-y)+1))$
Imponendo $tan(x/2)=t$
Avremo quindi che il denominatore sarà:
$(3-t^2-4sqrt(3)t)(1+t^2)$, che purtroppo non è il risultato...
... cosa ho sbagliato perché anche questo ragionamento mi sembrava corretto...
Potresti scrivere il risultato che viene dato come giusto?
"V3rgil":
$r*(5t^2-2sqrt(3)t+3)/(3-5t^2)$
L'avevo postato precedentemente
"V3rgil":
Allora con i dati impostati da te precedentemente avremo che la retta passante per $MP$ avrà coefficiente angolare pari a :$2siny/(2cos(y)-1)$
dunque il reciproco sarà
$(2cos(y)-1)/(2siny)$
Il coefficiente angolare della retta perpendicolare ad una data si ottiene facendo l'opposto del reciproco di quello della retta data (non solo il reciproco). Prova a correggere e fammi sapere.
Mi trovo ;D
denghiu ;D anche se l'ho fatto prima stamattina in un altro modo e ora riprovando anche con il tuo metodo grazie ;D
denghiu ;D anche se l'ho fatto prima stamattina in un altro modo
e ora riprovando anche con il tuo metodo grazie ;D
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